��ʬ��ʬ�س���AI���� No.12

��� 12.1 (``§3 (I)(p.18)'')   �¿��Τ����� $I$ ��������줿�ؿ� $f$ ������ñĴ���ôؿ��Ǥ���Ȥϡ�

$$x_1,x_2\in I , x_1< x_2 \implies f(x_1)< f(x_2)$$

��ߤ����Ȥ��ˤ�����

���ޤˤ��ξ��� $f(x) < f(x+1)$ ��Ʊ���ȴ��㤤���Ƥ�������� �������뤬������Ϥ������㤦�� $\sin(2 \pi x)$ �䡢 $x (\sin(2\pi x))^2$ ��ͤ��Ƥߤ���ɤ���(�����̤οޤ⻲��)

���� 12.2 (``����17�η�'')   $f$ ���Ķ�� $[a,b]$ ��ζ���ñĴ���ä�Ϣ³�ؿ��Ǥ���С�

$$f: [a,b] \to [f(a), f(b)]$$

�εմؿ�

$$f^{-1}: [f(a),f(b)]\to [a,b]$$

��¸�ߤ��롣 ����ˡ����� $f^{-1}$ ��Ϣ³�ǡ����Ķ���ñĴ���äǤ��롣

�� 12.3   �������� $n$ ���Ф��ơ� 0 �ʾ�μ¿��������Ȥ���ؿ� $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{\geq 0}\ni x\mapsto x^n \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{\geq 0}$ ��Ϣ³�Ǥ��ꡢ����ñĴ���äǤ��롣���δؿ������ͤǤ⤢�뤫�顢 $f$ �ϵռ�������ġ����δؿ���

$$x \to \sqrt[n]{x}$$

�Ƚ񤯡� �Ĥޤ� $y=\sqrt[n]{x}$ �� $y^n=x$ ��������ͣ������μ¿��Ǥ��롣

̿�� 12.4   Ǥ�դ����μ¿� $x$ ���Ф��ơ�

$$\sqrt[n]{x^{k}}= (\sqrt[n]{x})^k$$

���ʤꤿ�ġ�

Proof. $y=\sqrt[n]{x}$ �Ȥ����ȡ�����ˤ�ꡢ $y^n=x$ .

$$(y^k)^n=y^{k n}=(y^n)^k=x^k.$$

�椨�ˡ�$y^k$ �� $n$ �褷�� $x^k$ �ˤʤ�¿��Ǥ��롣 ���Τ褦�ʼ¿���ͣ��ġ����ʤ�� $\sqrt[n]{x^k}$ �����ʤ��ΤǤ��뤫�顢 ξ�Ԥ��������� $\qedsymbol$

Ʊ�ͤˤ��ơ����Τ��Ȥ�ʬ���롣

̿�� 12.5   �������� $a,b,c,d$ �� $a/b=c/d$ ���������С�Ǥ�դμ¿� $x$ �ˤ������ơ�

$$\sqrt[b]{x^a} =\sqrt[d]{x^c}$$

���ʤꤿ�ġ�

����̿�꤬�ʤꤿ�ĤΤǡ� $\sqrt[b]{x^a}$ �Τ��Ȥ� $x^{\frac{a}{b}}$ �� �񤤤Ƥ����ζ��줬�ʤ���

�� 12.6   ������Ǥϡ��⹻�ǽ������Ѵؿ����μ��� ���ΤǤ���Ȥ��롣

1. $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \ni x\mapsto \sin(x) \in [-1,1]$ �϶���ñĴ����Ϣ³�ؿ��Ǥ��롣���εմؿ��Τ��Ȥ� $\arcsin(x)$ �Ƚ񤯡�
2. $[0,\pi] \ni x\mapsto \cos(x) \in [-1,1]$ �϶���ñĴ����Ϣ³�ؿ��Ǥ��롣���εմؿ��Τ��Ȥ� $\arccos(x)$ �Ƚ񤯡�
3. $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \ni x\mapsto \tan(x) \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �϶���ñĴ����Ϣ³�ؿ��Ǥ��롣���εմؿ��Τ��Ȥ� $\arctan(x)$ �Ƚñ¤¯¡ï¿½

$\arcsin,\arccos,\arctan$ �Ϥ��줾�� $\sin^{-1},\cos^{-1}, \tan^{-1}$ �ʤɤȽ񤯤��Ȥ⤢�롣

���� 12.1   ���Τ��Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

$$\forall \epsilon>0 \exists \delta>0; \forall q\in$$   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\vert q\vert<\delta \implies \vert 2^q-1\vert<\epsilon)$$

����ͤ������ξ���������ˤʤäƤ��ޤä��Τǡ������Ǥ��ξ�����񤤤Ƥ�������

$f: [a,b]\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ���Ф��ơ� $f(a)<\gamma <f(b)$ �Ȳ��ꤹ�롣

$$S=\{c \in [a,b]; \forall x \in [a,c]$$ �ˤ������� $$f(x)\leq \gamma \}$$

�Ȥ����� ���� $f(a)<\gamma$ �ˤ�� $a\in S$ ���狼�롣 �Ȥ��ˡ� $S \neq \emptyset$ �Ǥ��롣 ¾���� $S$ �� $[a,b]$ ����ʬ��������顢 ͭ�����椨�ˡ�$S$ �Ͼ�� $c_0$ ���ġ�

1. $f(c_0) > \gamma$ �ξ�硣

   ���� ( $f(a)<\gamma$ ) �ˤ�� $c_0 \neq a$ ���狼�롣 $f$ �� $c_0$ �ˤ�����Ϣ³�Ǥ��뤫�顢 $\epsilon = f(c_0)-\gamma(>0)$ ���Ф��ơ� ���� $\delta>0$ ��¸�ߤ��ơ�

   $$(x\in [a,b ]$$ and $$\vert x-c_0\vert <\delta )\implies \vert f(x)-f(c_0)\vert <\epsilon .$$
   �Ȥ��ˡ�$x$ �Ȥ��� $x_0=\max(c_0-\delta/2,a)$ ��Ȥ��, $\vert x_0-c_0\vert <\delta$ ���� $x_0\in [a,b]$ �Ǥ��뤫�顢

   $$f(x_0) > f(c_0)-\epsilon =\gamma.$$ (12.1)

   
   
   ¾���� $c_0$ �� $S$ �ξ�¤Ǥ��뤫�顢 $S \cap (x_0,c_0]$ �ˤ� ���븵 $s_0$ ��¸�ߤ��롣$x_0<s_0$ �Ǥ��뤳�Ȥȡ�$S$ ������� �ߤ�ȡ� $f(x_0 )\leq \gamma$ ���狼�롣 ����� (12.1)����̷�⤹�롣

2. $f(c_0) <\gamma$ �ξ�硣

   ���� ( $f(b)>\gamma$ ) �ˤ�� $c_0\neq b$ ���狼�롣 $f$ �� $c_0$ �ˤ�����Ϣ³�Ǥ��뤫�顢 $\epsilon = \gamma- f(c_0)$ ���Ф��ơ� ���� $\delta>0$ ��¸�ߤ��ơ�

   $$(x\in [a,b ]$$    and $$\vert x-c_0\vert <\delta )\implies \vert f(x)-f(c_0)\vert <\epsilon .$$
   �Ȥ��ˡ� $x\in (c_0-\delta, c_0+\delta)\cap [a,b]$ �ʤ� Ǥ�դ� $x$ ���Ф��ơ�

   $$f(x) < f(c_0)+\epsilon =\gamma$$ (12.2)

   
   
   ¾���� $c_0$ �� $S$ �ξ�¤Ǥ��뤫�顢 $S \cap (c_0-\delta,c_0]$ �ˤ� ���븵 $s_0$ ��¸�ߤ��롣$S$ ������ˤ�ꡢ
   $$\forall x \in [a,s_0]$$    ������ $$f(x)\leq \gamma.$$
   ���Τ��Ȥ� (12.2)����ʻ����ȡ� $c_0+\delta/2\in S$ ���������졢 ����� $c_0$ �������̷�⤹�롣

�ʾ�ˤ�ꡢ $f(c_0)=\gamma$ .

���ͤޤǤ���� 12.1 �β������դǽҤ٤� $x (\sin(x/2\pi))^2$ �Υ���դ� �ܤ��Ƥ�������