��ʬ��ʬ�س���AI���� No.8

���󤫤顢�ؿ����ä�����ν����򤦤Ĥ���

��� 8.1   ���� $D$ �� $T$ �Ȥ�Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 ���� $D$ ��γƸ� $x$ ���Ф��ơ�������б����븵 $f(x)\in T$ �� (ï�����Ƥ�Ϥä����) Ϳ�����Ƥ���Ȥ���$f$ �� $D$ ���� $T$ �ؤ�����(�⤷�����ؿ�) �Ȥ�֡�

�ؿ��ȼ�����Ʊ����ΤǤ��뤬���ؿ��Ȥ������դ� $T$ �����ν������ʬ����λ��˸������Ȥ�¿����

���줫�顢 ��$a$ �ζ᤯���������Ƥ���(�¿���)�ؿ� $f$ �� �Ȥ����������������뤳�Ȥ����롣����ϡ� ������Ĥξ�����Ʊ������­����Ƥ��뤳�Ȥ� ����ɽ�����դǤ��롣

1. $f$ �� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �Τ�����ʬ���� $S$ ���������Ƥ���ؿ� ( $f: S\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ )�Ǥ��롣
2. $S$ �� $a$ ��ޤढ�볫��� $I$ ����ʬ����Ȥ��ƴޤ�

��� 8.2 ( ``p.18 (II)��Ƭ'' )  

$f$ �ϼ¿� $x_0$ �ζ᤯��������줿�ؿ��Ǥ���Ȥ��롣���ΤȤ��� $x$ �� $x_0$ �˶�Ť��Ȥ��� $f(x)$ ���˸��� �� $A$ �Ǥ��� (��$x\to x_0$ �ΤȤ� $f$ �� $A$ �˼�«����פȤ����) �Ȥϡ�

$$\forall \epsilon>0, \exists \delta>0; ( 0<\vert x-x_0\vert<\delta \implies \vert f(x)-A\vert<\epsilon)$$

�����������Ȥ��˸�����

($x\to x_0$ �β����ˤ����ơ���$x=x_0$ ������ʤ��פȤ����Τ� ��ĤΥݥ���ȤǤ��롣����ϡ�

$$\lim_{x\to x_0}\frac{\sin(x)-\sin(x_0)}{x-x_0}=\cos(x_0)$$

�Τ褦��������ζ˸¤����ˤ��뤳�Ȥ�¿������Ǥ��롣 )

���� 8.3   �������ξ����Τ�Ȥǡ��ؿ� $f(x)$ �� $x$ �� $x_0$ �˶�Ť��Ȥ��ζ˸��ͤ� ¸�ߤ���Ȥ����ͣ��ĤǤ��롣

��� 8.4   $f(x)$ �� $x\to x_0$ �ζ˸¤�(���줬�⤷¸�ߤ���С�)

$$\lim_{x\to x_0} f(x)$$

�Ȥ�����

���� 8.5 (``���� 10'')   �˸� $\lim_{x\to x_0} f(x)$ �� $\lim_{x\to x_0} g(x)$ ���Ȥ�� ¸�ߤ���Ȳ��ꤹ�롣���ΤȤ������Τ��Ȥ�����Ω�ġ�

1. $$\lim_{x\to x_0} (f(x) \pm g(x)) =\lim_{x\to x_0} f(x) \pm \lim_{x\to x_0} g(x).$$
2. $$\lim_{x\to x_0} c f(x)= c \lim_{x\to x_0} f(x)$$ .
3. $$\lim_{x\to x_0} (f(x) g(x)) =\left(\lim_{x \to x_0} f(x)\right) \left( \lim_{x\to x_0} g(x) \right).$$
4. ����ˡ� $\lim_{x\to x_0} f(x) \neq 0$ �Ȳ��ꤹ��ȡ�
   $$\lim_{x\to x_0} (g(x)/ f(x)) =\left(\lim_{x\to x_0} g(x)\right)/ \left( \lim_{x\to x_0} f(x) \right).$$

���� 8.1   $f(x)=x^2 +5 x +7$ �Ȥ��������ΤȤ� $\lim_{x\to 3}f(x)=31$ �Ǥ��뤳�Ȥ� ����˴�Ť���(����8.5���Ѥ�����)�������ʤ�����