��ʬ��ʬ�س���AI���� No.2

��2���ܤμ��� :

���θ����ϼ¿��δ���Ū�������Ǥ��롣

���� 2.1   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ����ʬ���� $A$ �����ͭ���ʤ�С� $A$ �Ͼ�¤���ġ�

��� 2.2   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ����ʬ���� $A$ ���Ф��ơ����ξ�¤Τ��Ȥ� $\sup(A)$ �Ƚñ¤¯¡ï¿½

���� 2.3   ���� $A$ ��� $\alpha$ �Ǥ��뤳�Ȥϡ��������郎Ʊ��������Ω�Ĥ��Ȥ� Ʊ�ͤǤ��롣

1. $\forall x \in A \quad( x \leq \alpha)$ .
2. $\forall \epsilon>0\exists x\in A (x> \alpha -\epsilon)$ .

�� $\forall x ....$ �� �ϡ��֤ɤ�� $x$ ���Ф��Ƥ⡢ $....$ ���ʤꤿ�ġפȤ�����̣��

�� $\exists x ....$ �� �ϡ��֤ʤˤ������Ĥ� $x$ ���Ф��Ƥϡ� $....$ ���ʤꤿ�ġפȤ�����̣���Ѥ��롣

�������������ΤΤ��Ȥ򤳤ιֵ��Ǥ� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}$ �Ƚ񤯡� ����Ȥϡ�����Ū�ˤϼ��Τ褦������Ǥ��롣

��� 2.4   �¿��� $\{a_n\}_{n=1} ^\infty$ �Ȥϡ� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}$ ���� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �ؤμ��� $n\mapsto a_n$ (���ʤ������������ $n$ �˼¿� $a_n$ ���б��������б�)�Τ��ȤǤ��롣

���� $\{a_n\}$ ��ñ�ʤ뽸��ȸ��Ƥ��줬ͭ�����ɤ������� ���ξ�� $\{a_n\}$ ��������뤳�Ȥ��Ǥ��롣���� 2.1�ˤ�ꡢ ���ͭ���ʿ���� ��¤���Ĥ��Ȥ��狼�롣

��� 2.5   �¿��� $\{a_n\}$ ��ñĴ�����Ǥ���Ȥϡ�

$$\forall n \forall m (n \geq m \implies a_n \geq a_m)$$

���ʤꤿ�ĤȤ��ˤ�����

��ä�Ϫ���˸����� $\{a_n\}$ ��ñĴ���äǤ���Ȥ�

$$a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq a_4 \leq \dots$$

������Ω�ĤȤ������ȤǤ��롣

���� 2.6   ���� $\{a_n\}$ ��

$$a_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$$

��������롣���ΤȤ�

1. $\{a_n\}$ ��ñĴ���äǤ��롣
2. $\{a_n\}$ ��ͭ���Ǥ��롣

��� 2.7   ���

$$\sup \left\{ \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}\right\}_{n=1}^\infty$$

�Τ��Ȥ������п������Ȥ�ӡ�$e$ �Ƚ񤯡�

���� 2.1   ���μ¿� $r$ ��ҤȤĸ��ꤷ���Ȥ���

$$a_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}r^k$$

������������� $\{a_n\}_{n=1} ^\infty$ �Ͼ��ͭ���Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����

���ͤΤ���ˡ� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ��������ɬ�׺Ǿ��¤Τ�Τ�񤤤Ƥ�������

�褯�ΤäƤ����� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ���龯��Υ��ơ����Τ褦�ʽ��� $K$ (�Ȥ��ξ�α黻 $+,\times$ ,�� $1_K,0_K$ ,�ط��� $>,=,<$ )��ͤ��롣

1. $K$ ���ΤǤ��롣���ʤ��:
   1. $(K,+)$ �ϲ�ˡ���Ǥ��롣
      1. $K$ �γƸ� $x,y$ ���Ф��ơ������¤ȸƤФ�븵 $x+y\in K$ �� �����ҤȤ���ޤ롣
      2. $(x+y)+z=x+(y+z) \qquad (\forall x, \forall y, \forall z \in K)$ .
      3. $K$ �ˤϥ����� $0_K$ �ȸƤФ�븵��¸�ߤ��ơ� Ǥ�դ� $x\in K$ ���Ф��� $x+0_K=x, 0_K+x=x$ ����������
      4. $K$ �γƸ� $x$ ���Ф��ơ����Υޥ��ʥ��� $(-x)$ �ȸƤФ�븵�� ¸�ߤ��ơ� $x+(-x)=0_K, (-x)+x=0_K$ ����������
      5. $x+y=y+x$ .
   2. $(K,\times)$ �Ͼ�ˡ�˴ؤ���Ⱦ����ʤ������ʤ����
      1. $K$ �γƸ� $x,y$ ���Ф��ơ������ѤȸƤФ�븵 $x y\in K$ �� �����ҤȤ���ޤ롣
      2. $x(yz)=(xy)z \qquad (\forall x, \forall y, \forall z \in K)$ .
   3. ʬ��ˡ§�� $(x+y)z=xz + yz , z(x+y)=zx + z y \qquad (\forall x, \forall y, \forall z \in K)$ .
   4. $K$ �Ͼ�ˡ�˴ؤ���ñ�̸� $1_K$ ���ġ����ʤ���� Ǥ�դ� $x\in K$ ���Ф��� $x 1_K=x, 1_K x=x$ ����������

   5. $K$ �ξ�ˡ�ϲĴ��Ǥ��롣 $x y =y x \quad(\forall x, \forall y \in K)$ .
   6. $K$ �� $0_K$ �ʳ��θ� $x$ �Ͼ�ˡ�˴ؤ��Ƶո� $x^{-1}$ �ȸƤФ�븵��¸�ߤ��ơ� $x^{-1} x =1_K, x x^{-1}=1_K$ ����������
2. $K$ �����������Ǥ��롣
   1. $x,y\in K$ ���Ф��ơ� $x>y$ �� $x=y$ �� $x<y$ �Τ����줫������Ω�ġ�
   2. $x,y,z\in K$ �ˤ������ơ���($x>y$ and $y >z$ ) �ʤ�� $x>z$ �פ�����Ω�ġ�
3. $K$ ���Τι�¤�Ƚ����¤��ξΩ���롣
   1. $x>y \implies x+z > y+z$ .
   2. $x>0, y>0 \implies x y >0$ .
4. $K$ ��Ǥ�դ�ͭ����ʬ����� $K$ ��˾�¤���ġ�

���ΤȤ���$K$ �ϼ¿��� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �ȡ�Ʊ����(����ΤȤ���Ʊ��)�Ǥ��롣

������ˡ�����ΤˤĤ��ơ����ξܤ���������2ǯ�����������ؤǿ����ٶ����롣