�¿��ν�����㡢��¡��峦

��� 1.2   �¿� $a,b$ �ˤĤ��ơ��Ķ�� $[a,b]$ �ȳ���� $(a,b)$ �� �Ĥ��μ������롣

$$[a,b] =\{x \in \mbox{${\mathbb{R}}$} \vert a\leq x \leq b\}$$

$$(a,b) =\{x \in \mbox{${\mathbb{R}}$} \vert a < x < b\}$$

�� $[a,b]$ �ˤ�ü�������äơ������ǤΤ褦���� $[a,b]$ �Τۤ������� �褦�����礭���ۤäƤ��롣������Ф��ơ�$(a,b)$ �γ����Ϥɤ�������Ƥ��롣

�� $[a,b]$ �ˤϺ��縵�����뤬��$(a,b)$ �ˤϤʤ��� ��������򸫤衣

��� 1.3   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ����ʬ���� $A$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 ���ΤȤ�

1. $a\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �� $A$ ���峦 (upper bound)�Ǥ���Ȥϡ�
   $$\forall x\in A (x\leq a)$$
   (�Ĥޤꡢ�ɤ� $x\in A$ ���äƤ��Ƥ� $x\leq a$ ) ������Ω�ĤȤ��˸�����
2. $a\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �� $A$ �����(supremum)�Ǥ���Ȥϡ� $A$ �ξ峦�Τ����Ǿ��Τ�Τò¤¤¤ï¿½ï¿½ï¿½

�� ����ξ峦��¸�ߤ���Ȥϸ¤�ʤ��� �ޤ����峦��¸�ߤ����Ȥ���ȡ�����Ϥ����Ĥ⤢�롣

�� 1.4  

$$T=\{$$�ں���Ŵ(*)�α���$$\}=\{100,180,190,260,340,380,400,440,470,500\}$$

�Ȥ���((*)2011/4/1����)�����ΤȤ���

1. $T$ �ξ峦�Ȥ��Ƥϡ�$1000$ �����롣����� ���ں���Ŵ�˾��Ȥ���1000�ߤ���ФҤȤ�ʬ�Τ����­���פ��Ȥ� ��̣���Ƥ��롣
2. $T$ �ξ峦�Ȥ��Ƥϡ�¾�ˤ� 500, ������������$951.777..$ �������롣
3. $T$ �ξ�¤� $500$ �Ǥ��롣

ι�Ԥ˹Ԥ��Ȥ���������ι��򥭥å���׻����ơ�����ʬ�Τ��⤷�� ���äƹԤ��ʤ��ͤϾ��ʤ������������΢����ߤ���н�ʬ�פȤ� ���Ѥ�롣���줬�峦�ιͤ�����

�� 1.5 (�����ͤ�����ʤ�����¤���Ľ��礿��)  

1. $\{\frac{n-1}{n}; n=1,2,3,\dots\}$ �Ͼ�� $1$ ���ġ�
2. $\{x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$; x<2\}$ �Ͼ�� $2$ ����ġ�
3. $\{x\in$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$; x^2<2\}$ �Ͼ�� $\sqrt{2}$ ����ġ�

��� 1.6   ���� $A\subset$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �����ͭ���Ǥ���Ȥϡ� $A$ ���峦�ò¾¯¤Ê¤ï¿½ï¿½È¤ï¿½ï¿½Ä¤ï¿½Ä¤È¤ï¿½ï¿½Ë¸ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 1.7   $f(x)=x^4-6 x^3 +11 x^2 -6 x$ �Ȥ��������ΤȤ�

$$S=\{ x\in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$; f(x) <0\}$$

�Ͼ峦���Ĥ���������

(����) $f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)$ �Ȱ���ʬ��Ǥ���Τǡ�

$$S=(0,1) \cup (2,3)$$

�Ǥ��뤳�Ȥ��狼�롣 �������äơ� $S$ �Ͼ峦 $10$ ���������ͭ���Ǥ��롣

�峦�ϰ�ĵ󤲤�н�ʬ�Ǥ��롣�������ʤ� $3$ (���) �Ǥ��ɤ����� $100$ �Ǥ�褤��$f$ ������ʬ��Ǥ��ʤ����⡢ �Ĥ��Τ褦���̲�ʤ餦�ޤ�������

(�̲�) �ޤ���$M=100$ �Ȥ����ȡ�$S$ �θ� $s$ �� $s\leq M$ ���������� �ʤ��ʤ顢�⤷ $s>M$ �ʤ� $s\in S$ ��¸�ߤ����Ȥ���ȡ�

$$f(s) = s^4-6 s^3 +11 s^2 - 6 s$$

$$> 100 s^3 -6 s^3 + 11 \cdot 0 - 6 \cdot s^3 = 88 s^3 >0$$

�Ȥʤäơ������ $s\in S$ ��ȿ���뤫��Ǥ��롣 ($s>1$ �ΤȤ� $s<s^2<s^3<\dots$ �����ա� ��ι��¿��˸��Ѥ�ꡢ���ι�Ϲ�����˸��Ѥ�롣) �������äơ� $M$ �� $S$ �ξ峦�ΰ�ĤǤ��롣

��� 1.8   �¿� $x$ ���Ф��ơ����������� $\vert x\vert$ �ò¼¡¤Î¤è¤¦ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ë¡£

$$\vert x\vert= \sqrt{x^2} = \begin{cases}\phantom{-} x & \text{ if } x\geq 0 -x & \text{ if } x< 0 \end{cases}$$

(������ʿ������0�ʾ�Τۤ������֡�)

���ʿ������Ȥ�����ϼ��Τ褦�� �⼡���ζ��֤ˤ��ưפ˳�ĥ�Ǥ���Ȥ���Ĺ�����ġ�

$$\vert\vert(x_1,x_2,\dots,x_n)\vert\vert=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2+\dots + x_n^2}$$

���˽ФƤ��뻰����������¤Ϲ⼡���ξ��ˤ�����Ω���� ���ϳؤδ���Ū��ƻ��Ȥ������ڤǤ��롣

���� 1.9   ����������������Ω�ġ�

1. $x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ���Ф��ơ� $-\vert x\vert \leq x \leq \vert x\vert$ .
2. (����������) $x,y\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ���Ф��ơ� $\vert x+y\vert \leq \vert x\vert+\vert y\vert.$

���� 1.1  

$$S=\{ x\in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$; 5x^4-4 x^3+3 x^2+4 x -5<0\}$$

�Ͼ峦���Ĥ��������� ��ľ��ˤϾ峦���ĵ󤲤Ƥ�����ͳ���������� �⤿�ʤ����ˤϤ⤿�ʤ����Ȥ���ͳ���������衣