�����III���� No.14

����ؿ���

No.12 �� (2),3,4���������β�ˡ�ˤĤ��ƽҤ٤��� ����� $X^3+2 X^2+3 X+4 \in$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]$ �Τ褦�ʶ���Ū��¿�༰�� �������ȸ��뤳�Ȥ�Ǥ��뤬���̤θ�����Ǥ��롣���ʤ���� (2���������ξ��Ǹ�����)¿�༰

$$X^2- a X + b$$

�η��� $a,b$ �����긵(�ѿ�) �Ȥߤơ����Τ褦�ʡ�����Ū�ʡ�2��¿�༰�κ��Ȥ���

$$\frac{a \pm \sqrt{ a^2 -4 b} }{2}$$

��ͤ��������ü�ʾ��Ȥ��ư��̤�2����¿�༰�򰷤��Ȥ������Ǥ��롣

��� 14.1   �� $k$ ��� $n$ -�ѿ�¿�༰�� $k[X_1,X_2,\dots, X_n]$ ���(¿�༰�� ʬ���η��ǽñ¤±¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Î¤Î¤Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½)�� $k(X_1,X_2,\dots, X_n)$ �Ƚñ¤­¡ï¿½ �� $k$ ���$n$ -�ѿ�ͭ���ؿ����ȸƤ֡�

��� 14.2   �� $k$ ��� $n$ -�ѿ�ͭ���ؿ��� ��ͭ�¼��������� ����ؿ����ȸƤ֡�

�� 14.3   �� $k$ ������긵 $a,b$ ��Ȥä�2�ѿ�ͭ���ؿ��� $K=k(a,b)$ ��ͤ��롣 $K$ ���¿�༰ $X^2-a X +b$ �� $K$ �����Ǥ��äơ� ���κ��ΰ�Ĥ� $x_1$ �Ȥ����ȡ�$L=K(x_1)$ ��2�ѿ�����ؿ��Τ���Ǥ��롣 $L$ �� $K$ �Υ���������ǡ� $\operatorname{Gal}(L/K) \cong C_2$ (2����).

�� 14.4   �� $k$ ������긵 $a,b,c$ ��Ȥä�3�ѿ�ͭ���ؿ��� $K=k(a,b,c)$ ��ͤ��롣 $K$ ���¿�༰ $X^3-a X^2 +b X + c$ �� $K$ �����Ǥ��äơ� ����� $x_1,x_2,x_3$ �Ȥ����ȡ� $L=K(x_1,x_2,x_3)$ ��2�ѿ�����ؿ��Τ���Ǥ��롣 $L$ �� $K$ �Υ���������ǡ� $\operatorname{Gal}(L/K) \cong \mathfrak{S}_3$ (3�Ĥθ����оη�).

�����ϰ��̤μ����Ρ�����¿�༰�פξ��ˤޤdz�ĥ�Ǥ��롣

̿�� 14.5   �� $k$ �� $1$ ��3�躬 $1,\omega, \omega^2$ �ò¸µ¤È¤ï¿½ï¿½Æ´Þ¤ï¿½È¤ï¿½ï¿½ë¡£ ������ $K=k(a,b,c)$ �� $L=K(x_1,x_2,x_3)$ ��ͤ��褦��

$$r_1= x_1 + \omega x_2 + \omega^2 x_3, \qquad r_2= x_1 + \omega^2 x_2 + \omega x_3$$

�Ȥ����ȡ�

1. $M=K(r_1^3)$ �� $K$ �� $L$ ������ΤǤ��äơ� $r_1^3,r_2^3\in M$ , $L=M(r_1)$ .
2. $M$ �� $K$ ��2���Υ���������ǡ� $\operatorname{Gal}(M/K)\cong C_2$ .
3. $L$ �� $M$ ��3������������� $\operatorname{Gal}(L/M)\cong C_3$ .

����������ǡ����Υ�����������󷲤Ǥ����Τ��������ȸƤ֡� ���̿��ϡ�������Ū�ʡ�3����������ʬ���Τ�������η����֤��� �����뤳�Ȥ�Ҥ٤Ƥ��롣4���������ˤĤ��Ƥ�Ʊ�ͤΤ��Ȥ��Ǥ��롣

ͭ���ؿ��Τ��ФƤ����Ĥ��Ǥˡ����Τ��ȤˤĤ��Ƥ���ڤ��Ƥ�������

̿�� 14.6 (��ʬΥ�������)   ɸ�� $p$ ���� $k$ ��Ϳ����줿�Ȥ��롣(�㤨�С� $k={\mathbb{F}}_p$ .) ���ΤȤ���$k$ ������긵 $a$ ��ҤȤĤȤä� $K=k(a)$ ��ͤ��롣 $X^p-a$ �� $K$ �����Ǥ��äơ����κ� $\alpha$ �� $K$ ��ʬΥŪ�ǤϤʤ���

���� 14.1   ${\mathbb{F}}_3$ ���¿�༰ $X^3-1$ �����ʬ�ò¤»¤è¡£

���� 14.2   ���̿�� 14.5 ��Ʊ�ͤε�����4���������ˤĤ��� Ÿ�����衣(���ʤ��Ȥ⡢$K$ �� $L$ �ˤ�����Τ�Τ�����Τ� ��Ĥò¸«¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½)