�����III���� No.13

�����������

�� 13.1 (11.4�κƷ�)   $L=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt[3]{11}, \omega), \quad K=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ . (� $\omega=\dfrac{-1+\sqrt{-3}}{2}$ ). $L$ �� $K$ �Υ���������Ǥ��롣 �������� $G=\operatorname{Gal}(L/K)$ ���������Ȥ��Ƥ�

$$% latex2html id marker 976a: \begin{cases} \sqrt[3]{11}&\m... ...}&\mapsto \sqrt[3]{11} \\ \omega&\mapsto \omega^2 \end{cases}$$

���������� $a,b$ ���Ȥ�ơ�

$$a^3=e,\quad b^2=e,\quad b^{-1} a b = a^{-1}.$$

�����������椨�ˡ�

$$G=\operatorname{Gal}(L/K)\cong \mathfrak{S}_3$$   (3�����оη�)$$.$$

$G$ ����ʬ���� $G$ �� $\{e\}$ �Τۤ���:

• �̿� $2$ ��� 3�ġ�($\{e,b\}$ , $\{e,a b\}$ , $\{e, a^b \}$ ).
• �̿� $3$ ��� 1�� ( $\{e,a,a^2\}$ )��

�������б���������Τ�

• $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt[3]{11}),$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt[3]{11}\omega^2),$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt[3]{11} \omega)$ .
• $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\omega)$ .

�� 13.2   $L=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt[4]{3}, i), \quad K=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ . (� $i=\sqrt{-1}$ .) $L$ �� $K$ �Υ���������Ǥ��롣 �������� $G=\operatorname{Gal}(L/K)$ ���������Ȥ��Ƥ�

$$% latex2html id marker 1031a: \begin{cases} \sqrt[4]{3}&\m... ...} \sqrt[4]{3}&\mapsto \sqrt[4]{3} \\ i &\mapsto -i \end{cases}$$

���������� $a,b$ ���Ȥ�ơ�

$$a^4=e,\quad b^2=e,\quad b^{-1} a b = a^{-1}.$$

�����������椨�ˡ�

$$G=\operatorname{Gal}(L/K)\cong \mathbb{D}_4$$   (�����η�)

$G$ ����ʬ���� $G$ �� $\{e\}$ �Τۤ���:

• �̿� $2$ ��� 5�ġ� ( $\{e,a^2\}$ , $\{e,b\}$ , $\{e,a b\}$ , $\{e,a^2 b\}$ , $\{e,a^3 b\}$ ).
• �̿� $4$ ��� 3�ġ� ( $\{e,a,a^2,a^3\}$ , $\{e,a^2,b,a^2 b\}$ , $\{e,a^2, a b, a^3 b\}$ ).

�������б���������Τ�

• $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$( \sqrt{3},i)$ , $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt[4]{3})$ , $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt[4]{3} i)$ , $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt[4]{3}(1+i))$ , $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt[4]{3}(1-i))$ .
• $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(i)$ , $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{3})$ , $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{3}i)$ .

���� 13.1   $\zeta_5=\cos(2 \pi/5)+ \sqrt{-1} \sin(2 \pi/5)$ �Ȥ���($1$ �� $5$ �躬)�� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt[5]{2},\zeta_5)$ �� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ �Τ�����������Τǡ� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ����缡���� $5$ �Τ�Τ� $2$ �İʾ���衣