�����III���� No.11

�����Υơ���:

��������ˤ��������Ƥ��ĤäƤ��ޤäƤ�����

���� 11.1   �� $K$ ��ͭ�¼������������� $L$ �ȡ��������� $G=\operatorname{Gal}(L/K)$ ����ʬ�� $H$ ��Ϳ����줿�Ȥ��롣���ΤȤ��� $H$ �˴ؤ��������� $L^H$ �ˤĤ��ơ�

$$[L:L^H] =\vert H\vert$$

������Ω�ġ�

�ʲ��������б������󤲤褦��

�� 11.2   $L=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{19}),K=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ .

$$G=\operatorname{Gal}(L/K)\cong C_2$$

$G$ ����ʬ���� $G$ �� $\{e\}$ ����Ĥ����ʤ����������б����� ����ΤϤ��줾���� $K$ , $L$ �Ǥ��롣

�� 11.3   $L=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{11}+\sqrt{13}),K=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ .

$$G=\operatorname{Gal}(L/K)\cong C_2\times C_2$$

$G$ ����ʬ���� $G$ �� $\{e\}$ �Τۤ��� 3�Ĥ��롣 �������б���������Τ�

   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\sqrt{11}) ,$$   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\sqrt{13}) ,$$   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\sqrt{11\cdot 13}).$$

�� 11.4   $L=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt[3]{11}, \omega), \quad K=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ . $(\omega=\dfrac{-1+\sqrt{-3}}{2}$ ).

$$G=\operatorname{Gal}(L/K)\cong \mathfrak{S}_3$$   (3�����оη�)

$G$ ����ʬ���� $G$ �� $\{e\}$ �Τۤ���:

• �̿� $2$ ��� 3�ġ�
• �̿� $3$ ��� 1�ġ�

�������б���������Τ�

• $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt[3]{11}),$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt[3]{11}\omega),$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt[3]{11} \omega^2)$ .
• $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\omega)$ .

���� 11.1   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt[4]{3}, \sqrt{-1})$ ����ʬ�Τ���İʾ�󤲡����줾��� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ��γ��缡������ʤ�����