�����III���� No.9

�����Υơ���:

���� 9.1   $K$ ����������� $L=K(\alpha_1,\dots, \alpha_t)$ ��Ϳ����줿�Ȥ��롣 $\alpha_1,\alpha_2,\dots, \alpha_t$ �Τ��٤Ƥ� $K$ ���� $L$ ���¸�ߤ���ʤ��(���ʤ���������κǾ�¿�༰�����٤� $L$ ��Ǥ� �켡�����Ѥ�ʬ�ò¤µ¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½)�� $L$ �� $K$ ����������Ǥ��롣

�� 9.2   $K$ ��ͭ�¼���������� $L=K(\alpha_1,\alpha_2,\dots, \alpha_t)$ �� $K$ �奬��������Ǥ��뤿���ɬ�׽�ʬ���ϡ������� $\alpha_1,\dots,\alpha_t$ �� ���٤� $K$ �� ʬΥŪ�Ǥ��ꡢ�ʤ����Ĥ����� $K$ ���ò¤¬¤ï¿½ï¿½Ù¤ï¿½ $L$ ���¸�ߤ��뤳�ȤǤ��롣

������ $K$ �����Ĥ��� $L$ �� $\Omega$ �Τ�������($L$ ���� $\Omega$ �ؤ�) $K$ -Ʊ���Τ��Ȥ� $\operatorname{Hom}_K(L,\Omega)$ �� ɽ��������������Ͼ���ۣ�椵�����뤳�Ȥ˵��Ť����Τǡ� $\operatorname{Hom}_K^{\operatorname{algebra}}(L,\Omega)$ �Ƚ񤯤��Ȥˤ��롣(Web �ǤǤ��ѹ��Ѥߡ�)

��� 9.3   �� $K$ ��ͭ�¼����������� $L$ ���Ф��ơ� $\operatorname{Hom}_K^{{\operatorname{algebra}}}(L,L)$ �ϼ����ι����ˤĤ��Ʒ���ʤ������η��� $L$ �� $K$ ������������Ȥ�ӡ�

$$\operatorname{Gal}(L/K)$$

�ǽ�ɽ����

�Τ�ͭ�¼����������礬Ϳ������ȡ������������ҤȤ���ޤ롣 ���η���ܤ���Ĵ�٤뤳�Ȥˤ�ꡢ�Τγ�����ͻҤ���˼��褦�ˤ狼�롣 ���줬�����������ο���ĺ�Ǥ��롣

����������׻�����Ȥ��ˤϡ�

1. ���������θ��ˤʤꤽ���ʤ�Τ򤹤٤Ƶ󤲤롣
2. ����餬���������θ��ˤʤ뤫��������­��Ƥ��뤫�򸵤ο��� ����dz�ǧ���롣

�Υ��ƥåפǹԤ����Ȥ�¿�������ΰ�̣�Ǽ���̿��ϴ���Ū�Ǥ��롣

̿�� 9.4   �� $K$ ��ͭ�¼����������� $L$ ���Ф��ơ�

$$\vert G\vert=[L:K]$$

�� 9.5   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{11})$ �� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ��Υ���������Ǥ��äơ� ������������� $\sqrt{11}$ �ιԤ��� ($\sqrt{11}$ or $-\sqrt{11}$ ) ����ޤ롣 ���η�̡�

$$\operatorname{Gal}($$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\sqrt{11}))/$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$) \cong C_2$$

($2$ ����)

�� 9.6   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{2},\sqrt{3})$ �� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ��Υ���������Ǥ��äơ� ������������� $\sqrt{2}$ �� $\sqrt{3}$ �ιԤ��� (���줾�� $\sqrt{2}$ or $-\sqrt{2}$ �� $\sqrt{3}$ or $-\sqrt{3}$ ) ����ޤ롣 ���η�̡�

$$\operatorname{Gal}($$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\sqrt{2},\sqrt{3}))/$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$) \cong C_2\times C_2$$

(2�Ĥ� $2$ ���ν�󷲤�ľ�ѡ�)

���� 9.1   $\operatorname{Gal}({\mathbb{C}}/$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ ����衣