�����III���� No.7

�����Υơ���:

��� 7.1   �� $K$ ����� $L$ �γƸ��� $K$ �����Ū�ΤȤ��� $L$ �Τ��Ȥ� $K$ �������������Ȥ�����

�ʲ�����������Τ������򸫤뤳�Ȥ�������濴�ˤʤ롣

��¸���� $K$ �ˤ������ơ� ���ξ�����Ū�ʸ� $\alpha$ ���դ��ä��ƿ������� $K(\alpha)$ �� �Ĥ��뤳�Ȥ��Ǥ���ΤǤ��ä��� ����� $\alpha$ �� $K$ ��κǾ�¿�༰ $m(X)$ ���Ѥ��ƺ����

$$K[X]/m(X) K[X]$$

�Ȥ�����;�Ĥ�Ʊ���Ǥ��롣 �äˤ���Ʊ����� $m$ �����˰�¸���Ƥ��롣

���̤ˡ�Ϳ����줿¿�༰ $f$ ���Ф��ơ�$f$ �κ��򼡡��� $K$ �˲ä��뤳�Ȥˤ�ꡢ $f$ ��ʬ���Τ��뤳�Ȥ��Ǥ����ʤ���Ť��Ǿ�ʬ���Τ� $f$ �ˤ�ä�Ʊ��������ư�դ˷�ޤ�ΤǤ��ä���

��� 7.2   �� $K$ ������Ū�ʸ� $\alpha$ ��ʬΥŪ�Ǥ���Ȥϡ� $\alpha$ �� $K$ ��κǾ�¿�༰���ź�������ʤ��Ȥ��ˤ�����

ʬΥ��������ؤ�ʤ�dzؤӤ����ԤˤȤäƤ�����ʳ�ǰ�Ǥ��뤬�� ���ν��������갷�����ϰ�ö�����������˽��Ϥ��Ƥ���Τۤ��� �褯ʬ����褦�˻פ��롣�������äƤ��ιֵ��Ǥ� ����ȡ���ɸ�� 0 �ΤȤ��פˤĤ��Ƥ����դ򤷤Ƥ����˻ߤ�褦�� (�� $K$ �ˤ����ơ�$1$ �򲿲�­���� 0 �ˤʤ��礬���롣 ���Τ褦�ʡֲ���פ� $K$ ��ɸ���Ȥ�֡���äȥ��å��襯������ ���Τ褦�ˤʤ롣)

��� 7.3   �� $K$ ���Ф��ơ���դ���ޤ�Ľ�Ʊ��

$${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\to K$$

�γˤ� 0 ���� $p{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ($p$ �Ϥ����ǿ�)�����������Τ����줫�Ǥ��롣 ���Ԥλ���$K$ ��ɸ���� 0 �Ǥ���Ȥ�������Ԥλ���$K$ ��ɸ���� $p$ �Ǥ���Ȥ�����$K$ ��ɸ���� $\operatorname{char}(K)$ �Ƚ񤯡�

�㤨���ǿ� $p$ ��Ϳ�����Ȥ��� ${\mathbb{F}}_p={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/p{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� ɸ�� $p$ �Ǥ��롣

̿�� 7.4   $K$ ��ɸ���� 0 �ʤ�С�$K$ ��Τ��٤Ƥ����Ū�ʸ��� $K$ ��ʬΥŪ�Ǥ��롣

�����ˤϡ��Ĥ��Τ褦��(����Ū)��ʬ���Ѥ�����ɤ���

��� 7.5   ��(�⤷���ϡ���äȰ��̤ˡ��Ĵ���) $K$ �ˤ������ơ�$K$ -��������

$$\frac{d}{d X} : K[X] \to K[X]$$

��

$$\frac{d}{d X}( \sum_{j=0}^t a_j X^j) = ( \sum_{j=0}^t j a_j X^{j-1})$$

��������롣

̿�� 7.6   ��(�⤷���ϡ��Ĵ���)$K$ ���Ф��ơ����Τ��Ȥ�����Ω�ġ�

1. $\frac{d}{d X}$ �� $K$ -���������Ǥ��롣
2. $\frac{d}{d X}(X^j)=j X^{j-1} \qquad (j=0,1,2,\dots)$
3. $\frac{d}{d X}$ �Ͼ����Ĥ������� $K[X]$ ���� $K[X]$ �ؤ� ͣ��μ����Ǥ��롣
4. $\frac{d}{d X}(f\cdot g) =\frac{d}{d X}(f) \cdot g +f\cdot \frac{d}{d X}( g)\qquad (\forall f,\forall g \in K[X])$ .

��� 7.7   �� $K$ ����������� $L$ �ˤĤ��ơ�$L$ �Τɤθ��� $K$ ��ʬΥŪ�Ǥ���Ȥ��� $L$ �� $K$ ��ʬΥŪ�Ǥ���Ȥ�����

���̿��ˤ�ꡢ $\operatorname{char}K=0$ �ʤ�� $K$ ����������Τ�ɬ�� $K$ �� ʬΥŪ�Ǥ���

ʬΥ����ռ�����Ȥ����������ä��饯�ˤ����ࡣ�㤨��:

���� 7.8   $K$ ��̵�¸Ĥθ�������ΤȤ��롣 $K$ ������Ū�ʸ� $\alpha,\beta$ �����Ȥ�� $K$ ��ʬΥŪ�ʤ��

$$K(\alpha,\beta)=K(\alpha+c \beta)$$

��ߤ��� $c\in K$ �����ʤ��Ȥ�ҤȤ�¸�ߤ��롣

�� 7.9   �� $K$ ���ͭ�¸Ĥ�ʬΥŪ�ʸ� $\alpha_1,\alpha_2,\dots, \alpha_s$ �������������

$$L=K(\alpha_1,\alpha_2,\dots, \alpha_s)$$

�ϼºݤˤϤ����Ĥθ� $\gamma$ �򤦤ޤ����٤�

$$L=K(\gamma)$$

�Ȥ���ҤȤĤ�������������롣

���� 7.1  

   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\sqrt{3}+\sqrt{5})=$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\sqrt{3},\sqrt{5})$$

�Ǥ��뤳�Ȥ�������衣

���� 7.2   $\alpha=\sqrt{3}+ \sqrt{5}, \beta=-\sqrt{5}+\sqrt{7}$ �Ȥ��롣

$$\sqrt{5} \in$$   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\alpha,\beta)$$

����

$$\sqrt{5} \notin$$   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\alpha+\beta)$$

�Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 7.3   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ������Ū�� $\alpha,\beta$ �� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\alpha+\beta) \neq$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\alpha,\beta)$ ��������(�Ǥ��������ñ��)��ò¤¢¤ï¿½ï¿½è¡£ ( �������狼���������פ����� )