�����III���� No.5

�����Υơ���:

�� $K$ ��ΰ��ѿ�����¿�༰ $f(X)$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 $K$ �� $f$ �κ� $\alpha$ ���դ��ä��ƤǤ����褦���� $L_1=K(\alpha)$ �� �Ĥ��뤳�Ȥ��Ǥ���ΤǤ��ä��� �������$f$ �� $L_1$ ��켡�ΰ��� $X-\alpha$ ���ġ� ��������$f$ ������ʾ����ʬ��Ǥ��뤫�ɤ����� ���ˤ�롣

��� 5.1   �� $K$ �Ȥ��ξ��(����Ȥϸ¤�ʤ�)���ѿ�¿�༰ $f\in K[X]$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣���ΤȤ��� $K$ ����� $L$ �� $f$ ��ʬ�����Ǥ���Ȥϡ�$f$ �� $L$ ���¿�༰�Ȥ��� 1�������Ѥ�ʬ��Ǥ���Ȥ��ˤ�����

��äȰ��̤ˡ� �� $K$ ���ͭ�¸Ĥΰ��ѿ�¿�༰ $f_1,f_2,\dots,f_s$ ��Ϳ����줿�Ȥ���$L$ ������ʬ���� �Ǥ���Ȥϡ��� $f_j$ �� $L$ �ǰ켡�����Ѥ�ʬ��Ǥ���褦�ʤȤ��ˤ����� (����ϼºݤˤ��� $f_1f_2\dots f_s$ ��ʬ���ΤȤ������Ȥ�Ʊ���Ǥ��롣)

Ϳ����줿���ѿ�¿�༰ $f$ �ˤ������ơ� ����ʬ���Τϰ�դȤϸ¤�ʤ������ä����� $L_1$ �� $f$ ��ʬ���Τʤ顢$L_1$ �γ����ΤϤɤ�� $f$ ��ʬ���ΤǤ��롣

̿�� 5.2   $K$ ���Ǥ�դΰ��ѿ�¿�༰ $f$ ��ʬ���Τ��ġ����ʤ���� ������ $L$ �ǡ�$f$ �� $L$ ��켡�����Ѥ�ʬ��Ǥ���褦�ʤ�Τ�¸�ߤ��롣

���̿����Ѥ���ȡ�$L$ �� $f$ ��ʬ���ΤǤ���Ȥϡ� $L$ ��ʬ�礭���� $\Omega$ ������������� $f$ �� $\Omega$ �ˤ����� $K$ ��ζ��򤬤��٤� $L$ �� �ޤޤ�Ƥ���Ȥ������Ȥ�Ʊ�ͤǤ���Ȥ������Ȥ��狼�롣

���� 5.3   �� $K$ ����� $L_0$ �ȡ����γ����� $L_1=K(\theta_1,\theta_2,\dots,\theta_t)$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 $\theta_1,\theta_2,\dots,\theta_t$ �� $K$ ��κǾ�¿�༰�� $f_1,f_2,\dots, f_t$ ���֤����� ���ΤȤ��⤷ $L$ �� $f_1,f_2,\dots, f_t$ ��ʬ���Τʤ�м��Τ��Ȥ�����Ω�ġ�

��ؤ� $K$ -Ʊ�� $\sigma_0: L_0 \to L$ ��Ǥ�դ�Ϳ����줿�Ȥ��� $\sigma_0$ �α�Ĺ�Ǥ���褦����ؤ�Ʊ�� $\sigma: L_1\to L$ ��¸�ߤ��롣

��������ξ��� ��($L$ �ν�ʬ�礭�ʳ����� $\Omega$ �����,) $\theta_1,\theta_2,\dots,\theta_t$ �Τ��٤Ƥ� $K$ ��� ($\Omega$ ��Ǥ�)���� $L$ ��°����פȤ������Ȥ�Ʊ�ͤǤ��롣

��� 5.4 (�֤˹�碌Ū)   �� $K$ �Ȥ��ξ�ΰ��ѿ�¿�༰ $f$ ��Ϳ����줿�Ȥ��� $f$ ��ʬ���� $\Omega$ ��¸�ߤ���ΤǤ��ä��� $\Omega$ ����Ǥ� $f$ ��� $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$ �� �����Ȥ��� $K(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s)$ �����餫�� $K$ ����� $f$ ��ʬ���ΤΤ����˾��ʤ�ΤǤ��롣 ����� $f$ ���˾�ʬ����(minimal splitting field)�ȸƤܤ���

��ǡִ֤˹�碌Ū�פȽ񤤤��Τϼ��Τ褦�ˡֺǾ�...�פȸƤ֤��Ȥ� ���̤�����Ǥ��롣(�Ѹ�ʤ� the ���դ����ݤ��ΰ㤤�˲᤮�ʤ���)

̿�� 5.5   �� $K$ �Ȥ��ξ�ΰ��ѿ�¿�༰ $f$ ��Ϳ����줿�Ȥ��� $f$ �ζ˾�ʬ���ΤϤ��٤Ƹߤ��� $K$ -Ʊ���Ǥ��롣 �������äƤ����ò¤¤¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ì¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ç¾ï¿½Ê¬ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ (the minimal splitting field)�ȸƤ֡�

����ΤޤȤ�:

���ѿ�¿�༰�Ϥ��줬�ɤ�ʤ�ΤǤ����Τ���礹��� �켡�����Ѥ�ʬ��Ǥ���Ȥ������ȡ����Τ����ɬ�פ��ΤϤɤ�� Ʊ���Ǥ��뤳�Ȥ�ؤ�������Τ��ȤϺ���ε����˽��פʴ��ä�Ϳ���롣

���� 5.1   $f(X)=X^4+X^3+X^2+X+1 (\in$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X])$ �Ȥ��������ΤȤ���

1. $f$ �� $X^5-1$ �ΰ����Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. $f$ �ΤҤȤĤκ��� $\alpha$ ���֤��ȡ� $\alpha^2,\alpha^3,\alpha^4$ �� $f$ �κ��Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
3. $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\alpha)$ �� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ��� $f$ �κǾ�ʬ���ΤǤ��뤳�Ȥ� �����ʤ�����

���� 5.2   ����� $f$ �� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]$ �θ��Ȥ��ƴ���Ǥ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ (�ҥ��: $f$ ������Ǥʤ��ä��Ȥ��ơ� $f=gh$ �Ȱ���ʬ�ò¤µ¤ì¤¿ï¿½È¤ï¿½ï¿½ë¡£ $g,h$ �ϤȤ�˥�˥å��Ȥ����ɤ�������η�̤������ơ�$g,h$ ������ब �ޤ� $f$ �κ��Ǥ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Î·ï¿½ï¿½ $f$ �� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ��� �����Ĥ��Ȥˤ��뤬������� $f$ ��ʣ�ǿ��ξ���ǰ���ʬ��� ��̤�ȿ���롣($f$ �ϼ¿��κ���⤿�ʤ�)��