�����III���� No.2

�����Υơ���:

��� 2.1   �� $L$ ����ʬ���� $K$ �� $L$ ����ʬ���Ǥ���Ȥϡ�$K$ ���Ȥ� $L$ �α黻���ΤˤʤäƤ���Ȥ��˸����� �ޤ������ΤȤ� $L$ �� $K$ ���������Ǥ���Ȥ������

��� 2.2 (�Τ˸����դ��ä��ƤǤ�����)   �� $L$ �ȡ�������ʬ�� $K$ , ����� $L$ �θ� $\alpha$ �� Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 ���ΤȤ���$K$ �� $\alpha$ �Ȥ�ޤ� $L$ ����ʬ�ΤΤ����Ǿ��Τ�Τ� $k(\alpha)$ �Ƚ� (�ݳ�̤�����)�� $K$ �� $\alpha$ ���դ��ä��ƤǤ������ȸƤ֡�

���� 2.3  

$$K(\alpha)=\{ \frac{ a(\alpha) } { b(\alpha) }; a,b \text{¤Ï $K$ ·¸¿ô¤Î¿¹à¼°} \}$$

��� 2.4   �� $K$ ���� $L$ ����ʬ�ΤǤ���Ȥ��롣 $\alpha\in L$ �� $K$ ��� �������������

$$f(\alpha)=0 \qquad( f\in K[X], f\neq 0)$$

����­����Ȥ��� $\alpha$ �� $K$ �����Ū�Ǥ���ȸƤ֡� �ޤ������Τ褦�� $f$ �Τ������������Ǿ��Τ�Τ� $\alpha$ �� �Ǿ�¿�༰�ȸƤ֡�

�Ȥ����Ǥ�ʤ��¤ꡢ�Ǿ�¿�༰����˥å��ʤ�Τ����֤Τ����̤Ǥ��롣

${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �䡢 �� $K$ ��ΰ��ѿ�¿�༰�� $K[X]$ �ϥ桼����åɴĤǤ��ä����Ȥ� �פ��Ф���������ϴ�ñ�˸����Ф����δľ�Ǥ� ;����������̣�Ǥγ�껻�� �Ǥ��뤳�Ȥ��̣���Ƥ��롣

̿�� 2.5   �桼����å����� $R$ �� PID �Ǥ��롣���ʤ���� $R$ �θ� $p,q$ �ˤ������ơ����� ���� $a,b$ ��¸�ߤ��ơ�

$$a p + b q =d$$ (E)

($d$ �� $p,q$ �� $R$ �Ǥκ�������) ������Ω�ġ�

(E)���Τ������ǡ� �桼����åɴ�(��äȰ��̤ˡ�PID)����;�� �γ�껻�� �ɤ���������ġ����줬����ε���Ū�ʥ���Ǥ��롣

̿�� 2.6   �� $k$ ��� ¿�༰ $p(X)$ �� $q(X)$ ���ߤ����Ǥʤ顢 $R=k[X]/p(X)k[X]$ �Τʤ��Ǥ� $q(X)$ �Υ��饹 $\overline{q(X)}$ �ϲĵդǤ��롣 �Ȥ��ˡ�$p$ �� $k[X]$ �Τʤ��Ǵ���ʤ�С� $R=k[X]/p(X)k[X]$ ���ΤǤ��롣

���̿��ǡ�$p$ ������Ǥʤ���С� �� $R=k[X]/p(X)k[X]$ ���ΤǤϤʤ����Ȥ��ưפ�ʬ���롣�������äơ� $p$ ������Ǥ��뤳�Ȥ� $R$ ���ΤǤ��뤳�Ȥ�ɬ�׽�ʬ���Ǥ��롣

���̿���Ʊ�ͤˡ����Τ��Ȥ�����Ω�ġ� (����Υơ��ޤȤϾ�������뤬�� �ֵܹ����ΤΤʤ��ǤϽ��פǤ��롣)

���� 2.7   �ǿ� $p$ �ˤ������ơ� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/p {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���ΤǤ��롣(������ ${\mathbb{F}}_p$ �Ƚñ¤¯¡ï¿½)

�����ơ�����Υᥤ��Ϥ�����:

���� 2.8   �� $K$ ���� $L$ ����ʬ�ΤǤ��äơ� $\alpha\in L$ �� $K$ �����Ū�Ǥ���С�

1. $K(\alpha)$ ��Ǥ�դθ��� $\alpha$ �� $K$ ������¿�༰�ǽ񤯤��Ȥ��Ǥ��롣
2. $\alpha$ �κǾ�¿�༰�� $f$ �Ȥ����ȡ� $K(\alpha)$ �� $L_1=K[X]/f(X)K[X]$ ��Ʊ���Ǥ��롣
3. ��äȾܤ��������ȡ��Ľ�Ʊ�� $\varphi: L_1\to L$ �ǡ� $X$ �Υ��饹�� $\alpha$ �˼̤���� ��(ͣ���)���äơ�$\varphi$ �� $L_1$ �� $K(\alpha)$ �Ȥ�Ʊ����Ϳ���롣 $K(\alpha)$ ��Ǥ�դθ��� $\alpha$ �� $K$ ������¿�༰�ǽ񤯤��Ȥ��Ǥ��롣

��������ϡ�$K$ �����Ū�ʿ� $\alpha$ �� �ɤ�ʿ����������å��Τ�ʤ��Ƥ⡢ ���κǾ�¿�༰�� ʬ���äƤ�������о�;�ĤΥ��ȥФ� $K(\alpha)$ ������Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��Ƥ��롣

���� 2.1   $\alpha$ �� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ��������� $X^5-X+1=0$ �β�Ǥ���Ȥ���Ȥ�

1. $\alpha$ �εո��� $\alpha$ �� 4���ʲ��� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ������¿�༰��ɽ���ʤ�����
2. $1+\alpha^{2}$ �εո��� $\alpha$ �� 4���ʲ��� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ������¿�༰��ɽ���ʤ�����