�����III���� No.1

�����Υơ���:

�����������Ȥϡ��Τγ���򥬥������Ȥ������ι�¤��Ĵ�٤뤳�Ȥˤ�� ���餫�ˤ��������Ǥ��롣 ����ˤ���������������˼��褦�˰�����褦�ˤʤ롣

�����������Ϥ��켫����������ؤ�����ν��פ�ƻ��ˤʤä��Τߤʤ餺�� ����Ū�оݤ򤽤�ˤĤ��Ƥ��о����ˤ��ͻ�����Ȥ�������Ū������ ��ȤȤʤäƿ��ؤ���ȯŪȯŸ�δ��ä�Ϳ������

�㤨�С� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ������������

$$x^3+x+1=0$$

��ͤ��褦�� �����������β�� $\alpha$ �Ȥ����ȡ�

$$\alpha^3+\alpha+1=0$$ (1.1)

������Ω�ĤϤ��Ǥ��롣 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ �ȿ������ֿ���$\alpha$ ��������ơ��ø��軻��Ԥ��ˤϡ�

$$c_0 + c_1 \alpha +c_2 \alpha^2 \qquad (c_0,c_1,c_2 \in$$   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$)$$

�Τ褦�ʿ���ɬ�פˤʤ롣�����ơ������ο�Ʊ�Τβø��軻�ˤ���̤� �ط���(1.1)���Ѥ���Фޤ����Ʊ�ͤο��ˤʤ롣

���Τ褦�����ϡ��¤���;�����Ѥ��뤳�Ȥˤ����˰����롣 ��äȰ��̤ˡ��� $k$ ��ΰ��ѿ�¿�༰ $f$ ���Ф��ơ���;��

$$R=k[X]/f(X) k[X]$$

��ͤ���ȡ����δĤˤ����� $X$ �Υ��饹(��;��) $a$ �� $f(a)=0$ ��ߤ����� $R$ �� $k$ �� $f=0$ �β� $a$ ���դ��ä��ƺ�ä��ĤǤ���ȸ��ä��ɤ���

�Ĥ��ˡ����Τ褦�ˤ��ƺ�ä����������ʴĤ� ��Ӥ�Ԥ�ɬ�פ����롣

�㤨����������

$$x^2+x+1=0$$

��

$$\frac{-1\pm \sqrt{-3}}{2}$$

��Ϳ�����롣�����

$$k[X]/(X^2+X+1)k[X]$$

��

$$k[X]/(X^2+3)k[X]$$

�δ֤˴ط������뤳�Ȥ��̣���Ƥ��롣

���� 1.1   $\alpha$ �� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ��������� $X^5-X+1=0$ �β�Ǥ���Ȥ���Ȥ�

1. $\alpha^{10}$ �� $\alpha$ �� 4���ʲ��� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ������¿�༰��ɽ���ʤ�����
2. $\alpha^{15}$ �� $\alpha$ �� 4���ʲ��� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ������¿�༰��ɽ���ʤ�����
3. $(\alpha^3+\alpha+1)(\alpha^4+\alpha^2+1)$ �� $\alpha$ �� 4���ʲ��� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ������¿�༰��ɽ���ʤ�����