総合演習 NO.7

◎クラス分け。

◎その後、今までで一番印象に残った数学の定理、問題、現象、 etc のうちどれかひとつについて書き込む。

◎あなたはその定理 (etc) を生涯で何人ぐらいの人に話しそうだと思いますか?

◎次のそれぞれの問題について、

(1) 各自で答を考えたのち、グループ内で議論する。

(2) 問題と答をどのように説明すれば伝わるかをグループ内で議論、練習する。

(3) それぞれの問題について、各グループからそれぞれ口頭発表してもらう。

問題 7.1. つぎの (う)、 (え) はどのように違うだろうか。 (う) 次の連立方程式を解け。ただし、 X, Y は 2 次の行列。 1_{2} は 2 次の単位行列。 5_{2} = 5 · 1_{2} 等とする。

\{ \begin{matrix}X + Y = 5_{2} & (A) \\ X^{2} + Y^{2} = 13_{2} & (B) \\ (1 0) · X = (8 − 2) & (C′′) \end{matrix}

(え) 次の連立方程式を解け。ただし、 X, Y は 2 次の行列。 1_{2} は 2 次の単位行列。 5_{2} = 5 · 1_{2} 等とする。

\{ \begin{matrix}X + Y = 5_{2} & (A) \\ X^{2} + Y^{2} = 13_{2} & (B) \\ (1 0) · X = (0 0) & (C′′′) \end{matrix}

問題 7.2. 漸化式

\{ \begin{matrix}a_{n+2} = 3a_{n+1} − 2a_{n} (n = 1, 2, 3, …) \\ a_{1} = −1, a_{2} = 1 \end{matrix}

の一般項を求めよ、という問題に対して、 A 君は次の解答を書いた。この解答は (大変よいアイディアが使われているが)、解答としては不十分であって、大幅にその価値を損なっている。どこを改善すべきだろうか。

[A 君の解答] ; 特性方程式 ; x^{2} = 3x − 2 ; を解くと、 x = 1, 2. そこで、定数 c_{1}, c_{2} があって、 ; a_{n} = c_{1}2^{n} + c_{2} ; と仮定する。 n = 1, 2 のときを考えると、 ; 2c_{1} + c_{2} = −1, 4c_{1} + c_{2} = 1 ; これを解いて、 c_{1} = 1, c_{2} = −3. ゆえに、 ; a_{n} = 2^{n} − 3