�����II���� No.11

����ϡ�����Υ��������ɸ����ˤĤ��� PID ��β÷���������Ω�줫�� ���⤷�褦���Ĥ��Τ褦�ʴ��ܲ�����ȯ���Ȥ��롣

���ܲ���

$k$ ���ΤǤ���Ȥ��������������� $n$ �ˤĤ��� ���� $L\in M_n(k)$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 ���ΤȤ������ѿ�¿�༰�� $k[X]$ �� $V=k^n$ �ؤκ��Ѥ�

$$p(X). v= p(L) v$$

����ޤ�ΤǤ��ä���(��3.3)����ˤ�ꡢ$V$ �� $k[X]$ -�÷��ȸ��褦��

$k[X]$ �� PID �Ǥ��뤫�顢������(̿��9.7)�ˤ�ꡢ ����̿�꤬����Ω�Ĥ��Ȥ��狼�롣

̿�� 11.1   ���ܲ���Τ�Ȥǡ� $V$ �� $k[X]/(p(X)^e)$ ($p(X)$ �� $k[X]$ ���Ǹ���$e$ ����������) ��� $k[X]$ -�÷���ľ�¤Ǥ��롣

̿�� 11.2   $f(X)\in k[X]$ ��

$$f(X)=c_d X^d + c_{d-1} X^{d-1} + c_{d-2} X^{d-2}+\dots + c_1 X + c_0$$

�Ƚ񤳤��� $g(X)\in k[X]$ �� $k[X]/(f(X))$ �ˤ����륯�饹�� $[g]_f$ �Ƚ񤯤��Ȥˤ��롣 ���ΤȤ���

1. $k[X]/(f(X))$ �δ���Ȥ��ơ�
   $$\{b_l=[X^l]_f ; \qquad (l=0,1,2,\dots, d -1) \}$$
   �����롣
2. ��δ�����Ѥ���� $X$ �κ��Ѥ�
   $$% latex2html id marker 1023X. b_l = \begin{cases} b_{l+1} ... ...s + c_1 b_{1} + c_0 b_0) & \text{($l=d-1$ ¤Î¤È¤­)} \end{cases}$$
   �Ƚ񤭲����롣

�� 11.3   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$[X]/(X^2+1)$ �δ���Ȥ��� $b_0=[1]_{X^2+1}, b_1=[X]_{X^2+1}$ �����롣 $X$ �Τ��δ���ؤκ��Ѥϡ�

$$X. b_0 = b_1$$

$$X. b_1 = - b_0$$

��Ϳ�����롣�����ɽ������С�

$$\begin{pmatrix} X.b_0 & X. b_1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} b_0 & b_1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

�Ȥ������Ǥ��롣

��� 11.4   �� $k$ �����Ū�����Ǥ���Ȥϡ�$k$ ���Ǥ�դ�(������ $1$ �ʾ��) ���ѿ�¿�༰ $p(X)$ �� �켡�����Ѥ�ʬ�ò¤¹¤ï¿½È¤ï¿½ï¿½Ë¸ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

ʣ�ǿ��� ${\mathbb{C}}$ �����Ū���ΤǤ��뤳�Ȥ��Τ��Ƥ��롣Ǥ�դ��� $k$ ���Ф��ơ� �����ޤ�褦�ʺǾ������Ū���� $\bar k$ ��¸�ߤ��뤳�Ȥ� �Τ��Ƥ��롣���Τ褦�� $\bar k$ �Τ��Ȥ� $k$ �����Ū���� �ȸƤ֡�

�ʲ���$k$ �����Ū���ΤΤȤ����˹ͤ��롣���ΤȤ��ˤ� $k$ ��ΰ��ѿ� ����¿�༰�ϰ켡���˸¤뤫�顢���Τ��Ȥ��狼�롣

̿�� 11.5   ���ܲ���Τ�Ȥǡ������ $k$ �����Ū���ΤǤ���Ȥ��� $V$ �� $k[X]/((X-c)^e)$ ($c\in k$ , $e\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}$ ) ��� $k[X]$ -�÷���Ʊ���Ǥ��롣

̿��11.2�Τ褦�ʴ������С� $k[X]/(X-c)^e$ ��� $X$ �κ��Ѥ�ɽ�������뤳�Ȥ��Ǥ��뤬��$c$ �������餹���Ȥˤ�äơ� ������ɤ�������뤳�Ȥ�Ǥ��롣

̿�� 11.6  

1. $k[X]/((X-c)^e)$ �δ���Ȥ��ơ�
   $$\{b_l=[(X-c)^l]_f ; \qquad (l=0,1,2,\dots, e -1) \}$$
   �����롣
2. ��δ�����Ѥ���� $X$ �κ��Ѥ�
   $$% latex2html id marker 1102X. b_l = \begin{cases} c b_l +b... ...< e-1$ ¤Î¤È¤­)} \\ c b_l & \text{($l=e-1$ ¤Î¤È¤­)} \end{cases}$$
   �Ƚ񤭲����롣����ǽ񤯤�
   $$\begin{pmatrix} X.b_0 & X.b_1 & X.b_2 & \dots X.b_{e-1} \end{pmat... ... c & \\ & 1 & c & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & 1 & c \end{pmatrix}.$$
   �⤷���ϡ�����ν��֤��괹���ơ�
   $$\begin{pmatrix} X.b_{e-1} & X.b_{e-2} & X.b_{e-3} & \dots X.b_{0}... ... \begin{pmatrix} b_{e-1} & b_{e-2} & b_{e-3} & \dots b_{0} \end{pmatrix}J_e(c)$$
   ������ $J_e(c)$ �����������˦�ȸƤФ�뼡�Τ褦�ʹ���Ǥ��롣
   $$J_e(c)= \begin{pmatrix} c & 1 \\ & c & 1 \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & c & 1 \\ & & & & c \end{pmatrix}.$$

�� 11.7   ���Ū���� $k$ ���� $L\in M_n(k)$ ��Ϳ����줿�Ȥ��� ���ޤ������Ѵ����� $P\in {\operatorname{GL}}_n(k)$ ��Ȥ�С�

$$P L P^{-1}= \begin{pmatrix} J_{e_1}(c_1)& \\ &J_{e_2}(c_2) \\ & &J_{e_2}(c_2) \\ & & &\ddots \\ & & & &J_{e_s}(c_s) \\ \end{pmatrix}$$

�ȥ��������˦�Ρ�ľ�¡פ�ʬ�򤵤�롣

���� 11.1   $n=2$ �ǡ�

$$L= \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ \end{pmatrix}$$

�ΤȤ������ܲ���Τ褦�ˤ��� $V={\mathbb{C}}^2$ �� ${\mathbb{C}}[X]$ �÷��ȸ��褦�� ���ΤȤ��� $V$ �� $k[X]$ �� $e_1={}^t (1\ 1)$ ����������뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 11.2   ����β���Τ�Ȥǡ� ${\mathbb{C}}[X]$ -�÷���Ʊ�� ${\mathbb{C}}[X]/(X-2)(X-3) \cong V$ ���äƤߤ��ʤ�����