�����II���� No.10

��10���ܤμ��� :

�������ȴط����ˤĤ��Ƥΰ����ˤĤ��Ƥ⤦������­���Ƥ�������

�� $A$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 $A$ -�÷� $M$ �� $m_1,m_2,\dots, m_k$ ����������Ƥ��ơ�����餬 �ط���

$$\sum_{j=1}^k r_{ij} m_j=0 \qquad (i=1,2,\dots,l)$$ (�ط�R)

��ߤ����Ȥ���������ͤ��褦��

���� 10.1   �Ĥ��Τ褦�ˤ��ơ��������δ֤δط��� (�ط� R) ��ߤ����褦�ʲ÷� $M^{(R)}$ �Ȥ��������� $\{m_j^{(R)}\}_{j=1}^k$ �����Ĥ��롣

1. $F=A^{\oplus k}$ ��ͤ��褦�� $F$ �� $k$ �Ĥθ�(�ִ��ܥ٥��ȥ��) $e_1,e_2,\dots, e_k$ ����������롣
2. $v_i=\sum_{j=1}^k r_{i j} e_j$ �Ȥ����� $F$ ����ʬ�÷� $N$ �ǡ� $\{v_i\}_{i=1}^l$ ������������Τ� �ͤ��褦�� $N$ �� $v_j$ �� $A$ -�����������������ΤǤ���Ȥ��äƤ�褤��
3. ��;�÷� $M^{(R)}=F/N$ ��ͤ��褦�� ����� $F$ �θ���ֺ��� $N$ �����뤫�ɤ����� �ǥ��饹ʬ���������饹�����ΤǤ��롣
4. $M^{(R)}=F/N$ �Ǥ� $e_j$ �Υ��饹�� $m_j^{(R)}$ �Ȥ����ȡ�$M$ �� $\{m_j^{(R)}\}$ ���������졢 �����ϴط���

   $$\sum_{j} r_{ij} m_j^{(R)}=0 \qquad (i=1,2,\dots,l) R^{(R)}$$

   
   

   ((�ط� R) �� $m_j$ �� $m_j^{(R)}$ ���Ѥ������)��ߤ�����

5. ������������餫�ʤ褦�ˡ� �ط� $R^{(R)}$ �� $\{m_j^{(R)}\}$ �� ���ܴط����Ǥ��롣 ���ʤ����[��� 7.1 �� $\phi$ �ȸƤФ�Ƥ����Τˤ�����] $A$ -��Ʊ��
   $$A^{\oplus k} \ni \begin{pmatrix} a_1\\ a_2 \\ \vdots \\ a_k \end{pmatrix}\mapsto \sum _j a_j m_j^{(R)} \in M^{(R)}$$
   �γˤ� $\{v_i\}_{i=1}^l$ ����������롣

$M^{(R)}$ �ϡ����ΰ�̣������Ū�Ǥ��롣

̿�� 10.2  

$A$ -�÷� $M$ �� $k$ �Ĥθ� $m_1,\dots, m_k$ ����������ơ������ϴط��� (R) ��ߤ������Ȥ��롣 $M^{(R)}, \{m_j^{(R)}\}$ ��嵭�Τ褦�˹��������Ȥ��� $A$ -�÷��ν�Ʊ��

$$\varphi: M^{(R)} \to M$$

�� $\varphi(m_j^{(R)})=m_j \qquad(j=1,2,\dots, k)$ ����������Τ������ҤȤ� ¸�ߤ��롣���� $\varphi$ ��ɬ��Ū�����ͤǤ��롣

������������������ͤ����ǥ����ˤʤ뤳�Ȥ�¿���� �㤨�С����̿��褦������������� $(M^{(R)}, \{ m_j^{(R)}\})$ �� (Ŭ���ʰ�̣��)Ʊ��������ư�դǤ��뤳�Ȥ������Ǥ��롣

�� 10.3   $A={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , $k=2,m=2$ �Ȥ���

$$2 m_1 + 3 m_2 =0,\quad 6 m_1 +6 m_2=0$$ (Rexample)

�ʤ�ط������������÷� $M$ ��ͤ�������$M$ �Ȥ��ƤϤ��Ȥ��С�0 -�÷� ( $m_1=0, m_2=0$ )�ʤɤȤ��������ʤ�Τ⤢�뤷�������Ǥʤ��Ƥ� $m_1=0,\quad 3 m_2=0$ �ʤ������������� ( $M={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}, m_1=0, m_2=[1]_3$ ) �� ���롣���֡��礭�ʡ�(����Ū��)��Τ�

$$M^{(R)}={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}^{\oplus 2}/ ({\mbox{${\mathbb{Z}}$}}.(2 e_1 +3 e_2)+ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}.(6 e_1 +6 e_2)$$

�Ȥ��ơ� $m_1^{(R)},m_2^{(R)}$ �򤽤줾�� $e_1,e_2$ �Υ��饹�Ƿ�᤿��ΤǤ��롣 (���� $(M^{(R)},m_1^{(R)},m_2^{(R)})$ �Ϻ��ξ��ˤ� $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/2 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\oplus {\mbox{${\mathbb{Z}}$... ...b{Z}}$}},\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\ 1 \end{pmatrix})$ ��Ʊ���Ǥ��롣)

PID ���ͭ�������÷� $M$ �ι�¤��̿��7.7�Τ褦�ˤ褯�狼�äƤ��ơ� �Ȥ��� $M$ ��ɬ��ͭ��ɽ���Ǥ��ä���$M$ ����ʬ�÷� $N$ ��Ϳ����줿�Ȥ��� ��;�÷� $M/N$ ���Ф���̿��7.7 ���Ѥ��뤳�Ȥˤ�ꡢ���Τ��Ȥ��狼�롣

̿�� 10.4   �Ĵ� PID ���ͭ�������÷� $M$ ��Ǥ�դ���ʬ�÷� $N$ ��ͭ�������Ǥ��롣

���̿��ϡ� �͡������ľ��Ǥ�դ�ͭ�������÷���Ǥ�դ���ʬ�÷��Ϥޤ�ͭ�������Ǥ��롢 �Ȥ������������̤ξ��Ǥ��롣

�Ĵ� PID ��� ͭ�������÷��ι�¤�ϡ���ñ�������פȤ����Τ��� ��Τ�ɽ΢���Τδط��ˤ��롣����ϼ�����ͳ�ˤ��: ̿�� 10.2 �ˤ��ȡ� ���̤ˡ��� $A$ �θ�����ʬ�˻��Ĺ���

$$R=(r_{ij})$$

��Ϳ������й��� 10.1 ��ͭ��ɽ�� $A$ -�÷� $M^{(R)}$ ����ޤ�ΤǤ��ä��� ¾���� ��6.2�Ǥ��Ǥˡ� Ǥ�դ�ͭ��ɽ�� $A$ -�÷��Ϥ��Τ褦�ʷ��˽񤱤뤳�Ȥ��狼�äƤ��롣 �Ĥޤꡢͭ��ɽ�� $A$ -�÷���Ĵ�٤뤳�ȤϹ��� $R$ ��褯Ĵ�٤뤳�Ȥ� �����ط����Ƥ��롣 $A$ ���Ĵ� PID �Ǥ���Ȥ���$M^{(R)}$ ���������μ�괹�� (T1)-(T3) �� ͭ�²󷫤��֤��С��������δ��ܴط�����ñ��ˤǤ���ΤǤ��ä��� ���������� $R$ �˱�����ִ��ܹ���פ�ͭ�¸ijݤ��ƿ����ʹ��� $R'$ �� ���뤳�Ȥ��б����롣 �ط��� $R'$ ���Τ���ñ��פˤʤäƤ���Ȥϸ¤�ʤ�����Ŭ�����Ѵ� ($R'$ �˺�������ܹ����ͭ�¸ijݤ��뤳�Ȥ��б�)�ˤ�ꡢ�����ʹ��� $R''$ �ǡ�ñ��פʤ�Τ��ѰդǤ��롣�ܤ������ֵܹ��ζ��ʽ����򻲹ͤΤ��ȡ�

���� 10.1   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ -�÷� $F={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\oplus {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ˡ����饹ʬ�� (``$\sim$ '')��

$$m_1 \sim m_2 \qquad {\Leftrightarro... ... 4 \end{pmatrix}+ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}} \begin{pmatrix} 9 \\ 8 \end{pmatrix}$$

���������$m\in F$ �Υ��饹�� $[ m]$ ��ɽ�����Ȥˤ��롣���ΤȤ���

1. $$v_1= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix}$$
   �Ȥ����ȡ� $[v_1]=[v_2]$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. ��� $[v_1]$ �� $0\in F$ �Υ��饹 $[0]$ �Ȥ��������ʤ����Ȥ򼨤��ʤ�����