�����II���� No.8

��8���ܤμ��� :

�Ĵ��� $A$ ��β÷� $M$ �θ� $m_1,m_2,\dots, m_k$ �ˤ������ơ� ���Τ褦���Ѵ���ͤ��Ƥ�����

�Ѵ�1.

$\{m_1,m_2,m_3,\dots,m_k\}$ �ν�������촹���롣

�Ѵ�2.

$\{m_1,m_2,m_3,\dots,m_k\}$ ������� ����� $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\in {\operatorname{GL}}_2(A)$ �ǡ֤Ҥͤä���

$$\{a. m_1+b.m_2,c.m_1+ d.m_2,m_3,\dots,m_k\}$$

��ͤ��롣

�Ѵ�3.

$\{m_1,m_2,m_3,\dots,m_k\}$ ������� $m_1$ ��

$$m_1'= m_1+ a_2 m_2+ a_3 m_3 + \dots m_k m_k$$

���֤���������� $\{m_1', m_2,m_3,\dots, m_k\}$ ��ͤ��롣

��� 8.1   �Ĵ� PID $A$ �ȡ����ξ�β÷� $M$ ��Ϳ�����Ƥ��ơ� $M$ �� $A$ �� $m_1,m_2,\dots, m_k$ ����������Ƥ���Ȥ��롣 $m_1,m_2,\dots, m_k$ ��(�Ѵ�1), (�Ѵ�2), (�Ѵ�3) �� ͭ�²󷫤��֤��������� $M$ �������� ������ $\mathcal S$ �Ȥ��������ΤȤ���

1. �������򥹥ȥåפ���ޤǷ����֤��� $\underline{w}=\{w_1,w_2,\dots w_k\}\in \mathcal S$ �����롣

   1. $$c_1 v_1 +c_2 v_2 \dots + c_k v_k=0$$
      �ʤ�ط�����ҤȤĸ��Ĥ��Ƥ��롣���Τ褦�ʴط����������ʤ�Τ� ¸�ߤ��ʤ��ʤ�� $M$ �ϼ�ͳ�÷��Ǥ��롣�⤷¸�ߤ���ʤ�С� (�Ѵ�1)���򤯤��֤��ơ� $c_1\neq 0$ �Ȥ��Ƥ褤��
   2. ��� $v$ �� (�Ѵ�1), (�Ѵ�2) �򷫤��֤����Ȥˤ�ꡢ $c_1 w_1 =0$ �ʤ�ط������� $\{w_1,w_2,\dots, w_k\}\in \mathcal S$ �� ���Ĥ��뤳�Ȥ��Ǥ��롣
   3. $w_1,w_2,\dots, w_n$ �δط���
      $$\sum_j a_j w_j$$
      �Τ����� $a_1$ �� $c_1$ �dz���ڤ�ʤ���Τ��⤷�ʤ���С������ǥ��ȥåפ��롣 ����С�$c_1$ �� $a_1$ �� gcd $d_1$ �ˤ������ơ����� $d_2,d_3,\dots, d_k\in A$ �򸫤Ĥ��ơ�
      $$\sum d_j w_j =0$$
      �ʤ�ط����򸫤Ĥ��뤳�Ȥ��Ǥ��롣$\{w_j\}$ �� $v$ ������˺��Ѥ��ơ� (1)�ء�
   ̿�� 7.10 �ˤ�ꡢ�ʾ������ɬ��ͭ�²�ǥ��ȥåפ��롣
2. ���λ����ǡ� $M= A w_1 \oplus (A w_2 + \dots +A w_k)$ �� ľ��ʬ�򤵤��Τǡ� $M'=A w_2,\dots A w_k$ ���Ф���Ʊ�ͤ����� �����֤���

��μ��� $M$ ������7.4 �ˤ���褦��ľ��ʬ��Ǥ��뤬�� ���κݤ� $w$ �ϡ�����7.3�� (2)�Ǹ�����褦�ʶ������ξ�����­����Ȥ� �¤�ʤ��������׵���������ˤϼ�������Τ褦�ʥ��ƥåפ�ɬ�פˤʤ롣 ���Ѿ������7.4�η��ǽ�ʬ�ʤ��Ȥ�¿���ΤǾܺ٤�ά����

���� 8.2   PID ��β÷� $M$ ����Ĥθ� $m_1,m_2$ ����������Ƥ��ơ����δط�������

$$a_1 m_1 =0,\quad a_2 m_2=0$$

��Ϳ�����Ƥ���Ȥ���(����������ȡ� $M\cong A/A a_1 \oplus A/A a_2$ �ΤȤ���) ̿�� 7.9 �Τ褦�� $d=\gcd(a,b), a',b',x,y$ ������ǡ�

$$\bar{m_1}= a_1' m_1 + a_2' m_2 ,\quad \bar{m_2}= -y m_1 +x m_2$$

�Τ褦���Ѵ�(�Ѵ�2)��ܤ��ȡ� $\bar{m_1},\bar{m_2}$ �δط�����

$$d \bar{m}_1=0,\quad l \bar{m}_2=0 \qquad (l=\operatorname{lcm}(a_1,a_2)=a_1 a_2 /d)$$

�Ǥ��������롣

���� 8.1   ̿�� 7.7 ���Ѥ��ơ��Ĵ� PID $A$ ���ͭ��������ͳ�÷� $F$ ��ͭ��������ʬ�÷��� ��ͳ�÷��Ǥ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½