�����II���� No.7

��7���ܤμ��� :

��� 7.1   �� $A$ ��β÷� $M$ �θ� $m_1,m_2,\dots, m_k$ ���Ф��ơ� $A$ -��Ʊ��

$$\varphi: A^{\oplus k} \ni \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_k \end{pmatrix}\mapsto \sum_{j=1}^k {a_j. m_j}$$

�γ� $\operatorname{Ker}(\varphi)$ �θ��Τ��Ȥ� $m_1,m_2,\dots, m_k$ ���ط����ȸƤӡ� �������ΤΤʤ��÷� $\operatorname{Ker}(\varphi)$ �Τ��Ȥ� $m_1,m_2,\dots, m_k$ ���ط����Τʤ��÷��ȸƤ֡�

�ʲ��Ǥϡ����Τ褦���Ѵ���ͤ��롣

�Ѵ�1.

$\{m_1,m_2,m_3,\dots,m_k\}$ �ν�������촹���롣

�Ѵ�2.

$\{m_1,m_2,m_3,\dots,m_k\}$ ������� ����� $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\in {\operatorname{GL}}_2(A)$ �ǡ֤Ҥͤä���

$$\{a. m_1+b.m_2,c.m_1+ d.m_2,m_3,\dots,m_k\}$$

��ͤ��롣

�Ѵ�3.

$\{m_1,m_2,m_3,\dots,m_k\}$ ������� $m_1$ ��

$$m_1'= m_1+ a_2 m_2+ a_3 m_3 + \dots m_k m_k$$

���֤���������� $\{m_1', m_2,m_3,\dots, m_k\}$ ��ͤ��롣

(�Ѵ�3)��(�Ѵ�1), (�Ѵ�2)��ͭ�²��Ȥ߹�碌�������뤳�Ȥ� �狼��Τ� �ʲ��ε�����ɬ�ܤǤϤʤ���

���� 7.2 (�Ѵ�1)   ,(�Ѵ�2),(�Ѵ�3)�η����Ѵ���(Ʊ������)���Ѵ����ġ� �Ȥ��ˡ� $m_1,m_2,\dots, m_k$ �� $M$ ����������ʤ�С������ (�Ѵ�1),(�Ѵ�2),(�Ѵ�3) ��ͭ�²󷫤��֤�������줿�Ȥ߹�碌 $m_1',m_2',\dots, m_k'$ �� $M$ ���������롣

���� 7.3   �Ĵ� PID $A$ �ȡ����ξ�β÷� $M$ ��Ϳ�����Ƥ��ơ� $M$ �� $A$ �� $m_1,m_2,\dots, m_k$ ����������Ƥ���Ȥ��롣 $m_1,m_2,\dots, m_k$ ��(�Ѵ�1), (�Ѵ�2), (�Ѵ�3) �� ͭ�²󷫤��֤��������� $M$ �������� ������ $\mathcal S$ �Ȥ��������ΤȤ���

1. �� $\underline{m'}=\{m_j'\}\in \mathcal S$ �ˤ������ơ�
   $$I_{\underline{m'}}= \{c_1\in A; \sum_j c_j m_k \in M\qquad (\exists c_2,c_3,\dots c_k \in A) \}$$
   �Ȥ����ȡ� $I_{\underline{m'}}$ �� $A$ �Υ��ǥ���Ǥ��롣
2. $\{I_{\underline{m'}}; \quad m' \in \mathcal S\}$ �Τʤ���(��޽���˴ؤ���) ����ʤ�Τ�¸�ߤ��롣 ���ΰ�Ĥ�ʲ� $J_{\underline{v}}$ �Ƚ񤳤���
3. $J_{\underline v}=A c$ �Ȥʤ� $c$ ��¸�ߤ��롣 $c=0$ �ʤ� $M$ �ϼ�ͳ�÷��Ǥ��롣 �ʲ���$c\neq 0$ �Ȥ��롣

4. $$a_1 v_1 +a_2 v_2 \dots + a_k v_k=0 \qquad (a_1=c)$$
   �ʤ�ط�����¸�ߤ��롣
5. ��� $a_1,a_2,a_3,\dots, a_k$ �� $c$ �dz���ڤ�롣 (���ʤ����$A c$ �θ��Ǥ��롣)
6. $\underline u\in \mathcal S$ �ǡ� $c u_1=0$ �ʤ��Τ�¸�ߤ��롣
7. ��Τ褦�� $\underline u$ �δ֤�����Ω��Ǥ�դδط���
   $$\sum_j c_j u_j=0$$
   �ˤ������ơ��� $c_j$ �� $c$ �dz���ڤ�롣
8. ��� $\underline u$ �ˤ������ơ� $M$ �� $A u_1$ �� $A u_2+\dots+ A u_k$ ��ľ�¤�Ʊ���Ǥ��롣

�������Τ褦�� $M$ �� $m_1,m_2,\dots m_k$ ��Ϳ����줿�Ȥ��� $c$ ���������Τθ�����դ��� �⤷���줬����ʪ�פǤϤʤ����ˤϾ����ˤ���褦�������Ѥ��� ���������Ѵ����༡�Ԥ����Ȥˤ�ꡢ$u$ ����륢�르�ꥺ��� �������뤳�Ȥ��Ǥ��롣Ʊ�ͤˤ��Ƽ��������� $w$ �����륢�르�ꥺ��� �����롣

���� 7.4   �Ĵ� PID $A$ ���ͭ�������÷� $M$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 ���ΤȤ���$M$ �������� $\underline{m}=\{m_1,m_2,\dots, m_k\}$ �ˤ������ơ� $\underline m$ ��(�Ѵ�1),(�Ѵ�2),(�Ѵ�3)��ͭ�²󷫤��֤����Ȥˤ�ꡢ $M$ ����������� $\underline w$ �Ǥ��äơ�

$$M \cong Aw_1 \oplus A w_2 \oplus \dots A w_k$$

�Ȥʤ��Τ�¸�ߤ��롣

��� 7.5   ��Ĥθ������������÷������÷��ȸƤ֡�

���� 7.6   Ǥ�դδ� $A$ ���Ф��ơ����Τ��Ȥ������롣

1. Ǥ�դ� $A$ �κ����ǥ��� $J$ �ˤ������ơ� $A/J$ �Ͻ��÷��Ǥ��롣
2. Ǥ�դν��÷���(1)�ǽҤ٤��褦�ʤ�Τ�Ʊ���Ǥ��롣

̿�� 7.7 (�����������)   �Ĵ� PID $A$ ���Ǥ�դ�ͭ�������÷� $M$ �Ͻ�� $A$ �÷���ľ�¤�Ʊ���Ǥ��롣 �椨�ˡ����� $c_1,c_2,\dots, c_k \in A^k$ ��

$$M\cong A/Ac_1 \oplus A/A c_2 \oplus \dots \oplus A/A c_k$$

�ʤ�Ʊ����¸�ߤ��롣

(������)�÷��� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ -�÷��Τ��Ȥ�Ʊ���Ǥ��äơ� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� $PID$ �Ǥ��뤳�Ȥ��顢 �Ĥ���(����ͭ�Ѥ��Ľ��פ�)�Ϥ�����Ω�ġ�

�� 7.8 (ͭ�����������٥뷲�δ�������)   Ǥ�դ�ͭ�����������٥뷲�Ͻ�󷲤�ͭ�¸Ĥ�ľ�¤Ǥ��롣

���� 7.1   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ -�÷� $M$ ��2�Ĥθ� $m_1,m_2$ ����������Ƥ��ơ����δط������������Ȥ��롣

$$30 m_1 + 48 m_2=0$$

$$88 m_1 + 100 m_2=0$$

����ʳ������ʤδط������ʤ��Ȥ���Ȥ���$m_1,m_2$ ��(�Ѵ�1),(�Ѵ�2),(�Ѵ�3) ��ͭ�²�ܤ����Ȥˤ�ꡢ������������ $w_1,w_2$ �����ơ� $M$ ����÷���ľ�¤Ȥ���ɽ�����衣

����:

̿�� 7.9   �Ĵ� PID $A$ �θ� $a,b$ ���Ф��ơ����ǥ��� $A a + A b$ �� ����ñ�।�ǥ��� $A d$ �������������ΤȤ������� $a',b',x,y$ ��¸�ߤ��ơ� �����󼰤�����Ω�ġ�

1. $a= a' d$ ,    $b=b' d$ .
2. $a' x + b' y =1$ .

�Ȥ��ˡ�

$$\begin{pmatrix} a' & b' \\ -y & x \end{pmatrix}$$

�� $\operatorname{SL}_2(A)(\subset {\operatorname{GL}}_2(A))$ �θ��Ǥ��롣

̿�� 7.10   �Ĵ� PID $A$ �Υ��ǥ����������

$$I_1 \subset I_2 \subset I_3 \subset I_4 \subset \dots$$

��ɬ��ͭ�¤ǻߤޤ롣���ʤ�������� $N$ �����äơ�

$$I_N=I_{N+1}=I_{N+2}=\dots$$

������Ω�ġ�