�����II���� No.5

��5���ܤμ��� :

��� 5.1   �� $A$ ��β÷� $M_1,M_2$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 ľ�ѽ��� $M_1\times M_2$ �˼��Τ褦���¡������顼�ܤ�������� $A$ -�÷��ι�¤������뤳�Ȥ��Ǥ��롣

$$\begin{pmatrix} m_1 \\ m_2 \end{pma... ...} m_1+n_1 \\ m_1+n_2 \end{pmatrix} \qquad (m_1,n_1 \in M_1, m_2,n_2 \in M_2)$$

$$r. \begin{pmatrix} m_1 \\ m_2 \end... ...pmatrix} r.m_1 \\ r.m_2 \end{pmatrix}\qquad (m_1 \in M_1, m_2\in M_2, r\in A)$$

���β÷��� $M_1,M_2$ ��ľ�� �Ȥ�ӡ� $M_1\oplus M_2$ �Ƚ񤯡�

ͭ�¸Ĥ� $A$ -�÷� $M_1,M_2,\dots, M_k$ ��ľ�� $\oplus_{j=1}^k M_j$ �� Ʊ�ͤ��������롣 Ʊ���÷� $M$ �� $k$ �Ĥ�ľ�� $M\oplus M\oplus \dots \oplus M$ �Τ��Ȥ� $M^{\oplus k}$ �Ƚ񤯡�

���� 5.2   ͭ�¸Ĥ� $A$ -�÷� $M_1,M_2,\dots, M_k$ ��Ϳ����줿����

1. �� $i\in \{1,2,3,\dots, k\}$ �ˤĤ���
   $$\pi_i( \begin{pmatrix} m_1 \\ m_2 \\ \vdots \\ m_k \end{pmatrix})=m_i$$
   ���������� $\pi_i$ �� ľ�� $\oplus_{j=1}^k M_j$ ���� $M_j$ �ؤ� $A$ -��Ʊ���Ǥ��롣�����ɸ��Ū�ʼͱ��Ȥ�֡�
2. �� $i\in \{1,2,3,\dots, k\}$ �ˤĤ���
   $$\iota_i(m_i)= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots\\ 0 \\ m_i \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$$   ($i$ ���ܤ���ʬ�Τ� $m_i$ �Ǥ��Ȥ� $0$.)
   ���������� $\iota_i$ �� $M_i$ ����ľ�� $\oplus_{j=1}^k M_j$ �ؤ� $A$ -��Ʊ���Ǥ��롣�����ɸ��Ū�������Ȥ�֡�

ľ�¤δ֤μ����ϼ��Τ褦�˹���Ū��ʬ��Ǥ��롣

̿�� 5.3   �� $A$ ��β÷� $M_1,M_2,\dots, M_k$ ���� $N_1,\dots, N_l$ �ؤ� $A$ -��Ʊ�� $\phi$ ��Ϳ����줿�Ȥ��롣���ΤȤ� $\phi$ ��

$$\phi( \begin{pmatrix} m_1 \\ m_2 \\ \vdots \\ m_k \end{pmatrix... ...ots \\ \phi_{l1}(m_1)+ \phi_{l2}(m_2)+\dots + \phi_{l k}(m_k)\\ \end{pmatrix}$$

��ʬ�򤵤�롣������ $\phi_{ij}=\pi_i \circ\phi\circ \iota_j$ . ����� �ޤ����Τ褦��ά������롣

$$\phi( \begin{pmatrix} m_1 \\ m_2 \\ \vdots \\ m_k \end{pmatrix... ...k}\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} m_1 \\ m_2 \\ \vdots \\ m_k \end{pmatrix}$$

��� 5.4   �� $A$ �ˤ������� $A$ ���Ȥ� $A$ -�÷��Ȥߤʤ����Ȥ��Ǥ��롣 ���Τ����Ĥ���ľ�¤Ȥ���������÷�(�� $A$ -�÷��Ȥ���Ʊ���ʲ÷�)�� $A$ �����ͳ $A$ -�÷��ȸƤ֡�

���� 5.5   $A$ -�÷� $M$ �θ� $e_1,e_2,\dots, e_k$ ������������������Ȥ��롣

BASE1.

$M$ �� $A$ �� $\{e_1,e_2,\dots, e_k\}$ ����������롣���ʤ���� $M=A e_1 + A e_2 + \dots + A e_k$ ������Ω�ġ�

BASE2.

$\{e_1,e_2,\dots, e_k\}$ �� $A$ ��켡��Ω�Ǥ��롣

���ΤȤ���

$$A^{\oplus k} \ni {}^t(a_1,a_2,\dots, a_k) \mapsto \sum_j a_j e_j \in M$$

��Ʊ���Ǥ���¹ï¿½ï¿½ �Ȥ��ˡ�$M$ �ϼ�ͳ�÷��Ǥ��롣(���Τ褦�ʾ����λ���$M$ �� $e_1,e_2,\dots, e_k$ �����Ȥ��뼫ͳ�÷��Ǥ���ȸ�����)

̿�� 5.6   �� $A$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣���ΤȤ���

1. Ǥ�դθ� $c\in A$ ���Ф��ơ�
   $$\rho_c:A \ni x \mapsto x c \in A$$
   �� $A$ (�� $A$ ���ȸ������) ���餽�켫�Ȥؤ� $A$ -��Ʊ���Ǥ��롣
2. �դˡ�$A$ (�� $A$ ���ȸ������) ���餽�켫�Ȥؤ� Ǥ�դ� $A$ -��Ʊ�� $\varphi$ �ˤ������ơ����� $c_\varphi\in A$ �����äơ�
   $$\varphi= \rho_{c_\varphi}$$
   ������Ω�ġ�

�� 5.7   $A^{\oplus k}$ ���� $A^{\oplus l}$ �ؤ�Ǥ�դ� $A$ -��Ʊ�� $\varphi$ �ϡ�

$$\varphi( \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_k \end{pmat... ...}}\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_k \end{pmatrix}$$

�Ƚ񤱤롣

��� 5.8   $A$ -�÷� $M_1$ ���� $A$ -�÷� $M_2$ �ؤ� $A$ -��Ʊ�������Τ�

$$\operatorname{Hom}_A(M_1,M_2)$$

�Ƚ�ɽ����

̿�� 5.9   �� $A$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣

1. $A$ -�÷� $M_1,M_2$ ���Ф��ơ� $\operatorname{Hom}_A(M_1,M_2)$ �ϼ��Τ褦�ʡ��ͤ��Ȥ��¡פˤ�äƲ÷��ι�¤����ġ�
   $$(\varphi_1+\varphi_2) (x)=\varphi_1(x) +\varphi_2(x) \qquad (x\in M_1)$$

2. $A$ -�÷� $M$ ���Ф��ơ� $\operatorname{End}_A(M,M)=\operatorname{Hom}_A(M,M)$ �Ͼ���¤ȡ� �ּ����ι����פˤ���Ѥˤ��Ĥι�¤����ġ�

(����������Τ褦��) $M$ �� $A$ -�÷��ʳ��ι�¤��������ˤϡ� ���̤Τ����ΰ�̣�� $\operatorname{End}_A(M,M)$ �Τ��Ȥ� $\operatorname{End}_{A\operatorname{-module}}(M)$ ���Ƚ񤯤��Ȥ����롣

���� 5.1   $\rho: A \to \operatorname{End}_{A\operatorname{-module}}(A)$ �ϡִĤ�ȿ��Ʊ���פǤ��뤳�ȡ����ʤ����

$$\rho_{c_1 +c_2}=\rho_{c_1} + \rho_{c_2}$$

$$\rho_{c_1 c_2}=\rho_{c_2} \circ \rho_{c_1}$$

�򼨤��ʤ�����