next up previous
Next: About this document ...

    

�����II���� No.5

��5���ܤμ��� : \fbox{�÷���ľ�¡���ͳ�÷�}

��� 5.1   �� $ A$ ��β÷� $ M_1,M_2$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 ľ�ѽ��� $ M_1\times M_2$ �˼��Τ褦���¡������顼�ܤ�������� $ A$ -�÷��ι�¤������뤳�Ȥ��Ǥ��롣

% latex2html id marker 1034 $\displaystyle \begin{pmatrix} m_1 \\ m_2 \end{pma... ...} m_1+n_1 \\ m_1+n_2 \end{pmatrix} \qquad (m_1,n_1 \in M_1, m_2,n_2 \in M_2) $

% latex2html id marker 1036 $\displaystyle r. \begin{pmatrix} m_1 \\ m_2 \end... ...pmatrix} r.m_1 \\ r.m_2 \end{pmatrix}\qquad (m_1 \in M_1, m_2\in M_2, r\in A) $

���β÷��� $ M_1,M_2$ ��ľ�� �Ȥ�ӡ� $ M_1\oplus M_2$ �Ƚ񤯡�

ͭ�¸Ĥ� $ A$ -�÷� $ M_1,M_2,\dots, M_k$ ��ľ�� $ \oplus_{j=1}^k M_j$ �� Ʊ�ͤ��������롣 Ʊ���÷� $ M$ �� $ k$ �Ĥ�ľ�� $ M\oplus M\oplus \dots \oplus M$ �Τ��Ȥ� $ M^{\oplus k}$ �Ƚ񤯡�

���� 5.2   ͭ�¸Ĥ� $ A$ -�÷� $ M_1,M_2,\dots, M_k$ ��Ϳ����줿����
  1. �� $ i\in \{1,2,3,\dots, k\}$ �ˤĤ���

    $\displaystyle \pi_i( \begin{pmatrix} m_1 \\ m_2 \\ \vdots \\ m_k \end{pmatrix})=m_i $

    ���������� $ \pi_i$ �� ľ�� $ \oplus_{j=1}^k M_j$ ���� $ M_j$ �ؤ� $ A$ -��Ʊ���Ǥ��롣�����ɸ��Ū�ʼͱ��Ȥ�֡�
  2. �� $ i\in \{1,2,3,\dots, k\}$ �ˤĤ���

    $\displaystyle \iota_i(m_i)= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots\\ 0 \\ m_i \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$   ($i$ ���ܤ���ʬ�Τ� $m_i$ �Ǥ��Ȥ� $0$.)

    ���������� $ \iota_i$ �� $ M_i$ ����ľ�� $ \oplus_{j=1}^k M_j$ �ؤ� $ A$ -��Ʊ���Ǥ��롣�����ɸ��Ū�������Ȥ�֡�

ľ�¤δ֤μ����ϼ��Τ褦�˹���Ū��ʬ��Ǥ��롣

̿�� 5.3   �� $ A$ ��β÷� $ M_1,M_2,\dots, M_k$ ���� $ N_1,\dots, N_l$ �ؤ� $ A$ -��Ʊ�� $ \phi$ ��Ϳ����줿�Ȥ��롣���ΤȤ� $ \phi$ ��

$\displaystyle \phi( \begin{pmatrix} m_1 \\ m_2 \\ \vdots \\ m_k \end{pmatrix... ...ots \\ \phi_{l1}(m_1)+ \phi_{l2}(m_2)+\dots + \phi_{l k}(m_k)\\ \end{pmatrix}$

��ʬ�򤵤�롣������ $ \phi_{ij}=\pi_i \circ\phi\circ \iota_j$ . ����� �ޤ����Τ褦��ά������롣

$\displaystyle \phi( \begin{pmatrix} m_1 \\ m_2 \\ \vdots \\ m_k \end{pmatrix... ...k}\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} m_1 \\ m_2 \\ \vdots \\ m_k \end{pmatrix}$

��� 5.4   �� $ A$ �ˤ������� $ A$ ���Ȥ� $ A$ -�÷��Ȥߤʤ����Ȥ��Ǥ��롣 ���Τ����Ĥ���ľ�¤Ȥ���������÷�(�� $ A$ -�÷��Ȥ���Ʊ���ʲ÷�)�� $ A$ �����ͳ $ A$ -�÷��ȸƤ֡�

���� 5.5   $ A$ -�÷� $ M$ �θ� $ e_1,e_2,\dots, e_k$ ������������������Ȥ��롣
BASE1.
$ M$ �� $ A$ �� $ \{e_1,e_2,\dots, e_k\}$ ����������롣���ʤ���� $ M=A e_1 + A e_2 + \dots + A e_k$ ������Ω�ġ�
BASE2.
$ \{e_1,e_2,\dots, e_k\}$ �� $ A$ ��켡��Ω�Ǥ��롣
���ΤȤ���

$\displaystyle A^{\oplus k} \ni {}^t(a_1,a_2,\dots, a_k) \mapsto \sum_j a_j e_j \in M $

��Ʊ���Ǥ���1�� �Ȥ��ˡ�$ M$ �ϼ�ͳ�÷��Ǥ��롣(���Τ褦�ʾ����λ���$ M$ �� $ e_1,e_2,\dots, e_k$ �����Ȥ��뼫ͳ�÷��Ǥ���ȸ�����)

̿�� 5.6   �� $ A$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣���ΤȤ���
  1. Ǥ�դθ� $ c\in A$ ���Ф��ơ�

    $\displaystyle \rho_c:A \ni x \mapsto x c \in A $

    �� $ A$ (�� $ A$ ���ȸ������) ���餽�켫�Ȥؤ� $ A$ -��Ʊ���Ǥ��롣
  2. �դˡ�$ A$ (�� $ A$ ���ȸ������) ���餽�켫�Ȥؤ� Ǥ�դ� $ A$ -��Ʊ�� $ \varphi$ �ˤ������ơ����� $ c_\varphi\in A $ �����äơ�

    $\displaystyle \varphi= \rho_{c_\varphi} $

    ������Ω�ġ�

�� 5.7   $ A^{\oplus k}$ ���� $ A^{\oplus l}$ �ؤ�Ǥ�դ� $ A$ -��Ʊ�� $ \varphi$ �ϡ�

$\displaystyle \varphi( \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_k \end{pmat... ...}}\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_k \end{pmatrix}$

�Ƚ񤱤롣

��� 5.8   $ A$ -�÷� $ M_1$ ���� $ A$ -�÷� $ M_2$ �ؤ� $ A$ -��Ʊ�������Τ�

$\displaystyle \operatorname{Hom}_A(M_1,M_2) $

�Ƚ�ɽ����

̿�� 5.9   �� $ A$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣
  1. $ A$ -�÷� $ M_1,M_2$ ���Ф��ơ� $ \operatorname{Hom}_A(M_1,M_2)$ �ϼ��Τ褦�ʡ��ͤ��Ȥ��¡פˤ�äƲ÷��ι�¤����ġ�

    % latex2html id marker 1240 $\displaystyle (\varphi_1+\varphi_2) (x)=\varphi_1(x) +\varphi_2(x) \qquad (x\in M_1) $

  2. $ A$ -�÷� $ M$ ���Ф��ơ� $ \operatorname{End}_A(M,M)=\operatorname{Hom}_A(M,M)$ �Ͼ���¤ȡ� �ּ����ι����פˤ���Ѥˤ��Ĥι�¤����ġ�

(����������Τ褦��) $ M$ �� $ A$ -�÷��ʳ��ι�¤��������ˤϡ� ���̤Τ����ΰ�̣�� $ \operatorname{End}_A(M,M)$ �Τ��Ȥ� $ \operatorname{End}_{A\operatorname{-module}}(M)$ ���Ƚ񤯤��Ȥ����롣

���� 5.1   $ \rho: A \to \operatorname{End}_{A\operatorname{-module}}(A)$ �ϡִĤ�ȿ��Ʊ���פǤ��뤳�ȡ����ʤ����

$\displaystyle \rho_{c_1 +c_2}=\rho_{c_1} + \rho_{c_2} $

$\displaystyle \rho_{c_1 c_2}=\rho_{c_2} \circ \rho_{c_1} $

�򼨤��ʤ�����

next up previous
Next: About this document ...
2010-06-16