�����II���� No.4

��4���ܤμ��� :

�ַ��ν�Ʊ�������ס��ִĤν�Ʊ�������פˤĤ��Ƥϴ��ΤǤ������� $A$ -�÷��ν�Ʊ������������Ʊ�ͤ��꼰�����졢��������롣 �����Τ�Ȥˤʤ�Τϼ��ιͤ����Ǥ��롣

̿�� 4.1 (����ν�Ʊ������)   ����δ֤μ��� $f:X\to Y$ ��Ϳ����줿�Ȥ��롣���ΤȤ���

1. $X$ �ξ�Υ��饹�櫓(Ʊ��Χ)����
   $$x\sim_f y \qquad {\Leftrightarrow}\qquad f(x)=f(y)$$
   �ˤ���������롣 (���Υ��饹�櫓�ˤ�� $x$ �Υ��饹�򤳤��Ǥ� $[x]_f$ �Ƚ񤳤���)
2. $X$ ��嵭�Υ��饹�櫓�ˤ�ꥯ�饹�櫓�������饹�����Τ� $X/\sim_f$ �� �񤯤ȡ�$f$ ��
   $$\bar f: (X/\sim_f) \ni [x]_f \mapsto f(x) \in f(X)$$
   �ʤ������ͶƳ���롣���μ����ϡ�(���ޤ��������Ƥ��ꡢ)��ñ�ͤǤ��롣
3. $f$ �ϼ��Τ褦�����͡���ñ�͡�ñ�ͤι�����ʬ�򤵤�롣
   (�����ʼͱ�)$$VV @AA$$(������������)$$A \\ (X/\sim_f) @> \bar f >> f(X) \end{CD}$$

���� 4.2 (�÷��ν�Ʊ������)   �� $A$ �ȡ�$A$ -�÷��ν�Ʊ�� $f:M\to N$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣���ΤȤ���

1. $f$ �γ� $\operatorname{Ker}(f)=f^{-1}(0)$ �� $M$ �� $A$ -��ʬ�÷��Ǥ��롣

   $f$ ���� $f(M)$ �� $N$ ��$A$ -��ʬ�÷��Ǥ��롣

2. $f$ �ϡ�$A$ -�÷���Ʊ�� $\bar f: M/\operatorname{Ker}(f) \to f(M)$ ��������롣
3. $f$ �ϼ��Τ褦�� $A$ -�÷������ͽ�Ʊ������ñ�ͽ�Ʊ����ñ�ͽ�Ʊ���� ������ʬ�򤹤롣
   (�����ʼͱ�)$$VV @AA$$(������������)

�Ĥ��Τ��Ȥ˵���Ĥ��褦

• ñ�ʤ뽸��ξ�����٤Ʋ÷��ξ��ˤϡ��¡����������顼�ܡפȤ��� ��¤���θ�������ɬ�פ����롣
• $f$ ���÷��ν�Ʊ���ΤȤ��ˤϡ� $f$ �ˤ�륯�饹�櫓�פ� �Ǵ��������椵��롣

���� 4.1   �� $f([n]_{12})=[7 n]_{14}$ �ǡ�����פ��롣 ���ΤȤ�

1. ����Ϥ��ޤ��������Ƥ��ơ� -�÷��ν�Ʊ���Ǥ��뤳�Ȥ򤷤ᤷ�ʤ�����
2. �����б�ɽ�β��ʤ����ʤ�����(�ʤ�٤���ñ�ʷ��ˤ��뤳��)

   $x$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11

3. $f$ �ˤ�ä� �ϤɤΤ褦�˥��饹ʬ������뤫���֥��饹ʬ���� ɽ�פ�񤭾夲�뤳�Ȥˤ�äƼ����ʤ�����