�����II���� No.3

��3���ܤμ��� :

$R$ -�÷� $M$ �ˤ����ơ�$R$ �θ��� $M$ �ؤκ��Ѥϥ٥��ȥ���֤Ǹ����� �֥����顼�ܡפ����������������ºݤˤϤ��ʤ괶�Ф��ۤʤ��礬���롣

��� 3.1 (����γ�ǧ)   �� $R$ ��ñ�̸��� $1_R$ �Ƚñ¤¯¤Î¤Ç¤ï¿½ï¿½Ã¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ä¤ï¿½ï¿½ï¿½ $1_R+1_R$ �� $2_R$ , $2_R +1_R$ �� $3_R$ ���Ƚñ¤¯¡ï¿½ $1_R$ �� $R$ �ˤ�����ޥ��ʥ����� $(-1)_R$ , ������Ĥ��� $(-1)_R +(-1)_R$ �� $(-2)_R$ ���Ƚñ¤¯¡ï¿½

�� 3.2   ( �֥����顼��Ū�ʺ��ѡפ���)

1. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ -�÷� $M$ ���Ф��ơ�

   $$2.m= m+m,\quad 3.m=(m+m)+m,\dots$$

   $$(-2).m= (-m)+(-m),\quad 3.m=((-m)+(-m))+(-m),\dots$$

   
   
   ������Ω�ġ�
2. ��äȰ��̤˴� $R$ ���Ф��ơ� $2_R. m=m+m,\quad 3_R.m =(m+m)+m$ ������ ����Ω�ġ�
3. �� $k$ ��Υ٥��ȥ���� $V$ �� $k$ -�÷��Ȥߤ�Ȥ��ˤϡ� �֥����顼�ܡפ���Ѥȹͤ���ΤǤ��ä���

�� 3.3   �� $k$ ��ΰ�Ĥι��� $A\in M_n(k)$ ����ꤹ�롣���ΤȤ������ѿ� ¿�༰�� $k[X]$ �� $V=k^n$ �ؤκ��Ѥ�

$$p(X). v=p(A) v \qquad (p\in k[X], v \in k^n)$$

����ޤ롣

���� 3.1   $k[X]$ �� $k^n$ �ؤκ��ѤǤ��äơ�$k$ �κ��Ѥ� $V$ �θ��Υ����顼�ܤ� ���פ���褦�ʤ�Τϡ���˵󤲤���Τ˸¤뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

��� 3.4   �� $A$ �ȷ� $G$ ��Ϳ����줿�Ȥ���$A$ ��� $G$ �� ���� $A[G]$ �Ȥϡ� ����Ū��ͭ���¤ν���

$$A[G]= \left\{ \sum_{g \in G} a_g g \ ; \qquad a_g=0 \quad \forall' g \in G \right\}$$

�˷���Ū���¡��Ѥ�Ƴ��������ΤǤ��롣 (�� $\forall' \bullet$ �� �ϡ�ͭ�¸Ĥ��㳰����������Ƥ� $\bullet$ ���Ф��ơ� �Ȥ�����̣�Ǥ��롣) ����Ū�ˤϡ��¡��Ѥϼ��Τ褦��Ϳ�����롣

1. $\sum_g a_g g + \sum_g b_g g = \sum_g (a_g +b_g) g.$
2. $\sum_g a_g g \cdot \sum_g b_g g= \sum_g (\sum_h a_h b_{h^{-1}g} )g$

��� 3.5   �� $k$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣�� $G$ �� $k$ ��� $n$ -������ɽ�� $\Phi$ �Ȥϡ�����Ʊ�� $\Phi: G\to {\operatorname{GL}}_n(k)$ �� ���ȤǤ��롣

̿�� 3.6   �� $G$ �� $k$ ��� $n$ -������ɽ�� $\Phi$ ��Ϳ����줿�Ȥ��� $A[G]$ �� $k^n$ �ؤκ��Ѥ�

$$(\sum_g a_g g). v = \sum_g a_g \Phi(g)v \qquad (v\in k^n)$$

����ޤ롣

���� 3.2   5����� $C_5=\langle a; a^5=e \rangle$ �� ${\mathbb{C}}$ ���� ${\mathbb{C}}[C_5]$ �μ��η׻��ò¤·¤ï¿½ï¿½è¡£(���ϤǤ��������ñ�ˤ��뤳�ȡ�)

$$(e+a+a^2+a^3+a^4)(e+a^3)$$