���ϳ� IA �����

���� 15.1   $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ ��

$$f( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix})= \begin{pmatrix} e^{4 x + y}\\ x +y \end{pmatrix}$$

�ˤ��������롣���ΤȤ���

1. ����ʬ $f_x$ , $f_y$ �򤽤줾����ʤ�����
2. �� $P=\begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix}$ �ˤ����� $f$ �� ����ʬ $Df\vert _P= Df(P)$ (�ɤ���ν����ǽ񤤤Ƥ�Ʊ����Τ��̣����)�� ����� ���ι��� $\operatorname{det}(D f(P))$ ����ʤ�����
3. �� $P=\begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix}$ �ˤ����� $f$ ���󼡶���� ���ʤ�����

4. $$D=[0,1] \times [0,1]$$
   �Ȥ���$D_1=f(D)$ �Ȥ��������ΤȤ��� $\int_{D_1} u^{-1} d u d v$ ��

   $$u(x,y)=e^{4 x+y}$$

   $$v(x,y)=x+y$$

   
   
   ���ѿ��Ѵ��򤹤뤳�Ȥˤ����ʤ�����($f$ �ˤ�� $D$ ������ $D_1$ �����Ȥ� ��ñ�ͤ��б����뤳�ȤϾ����ʤ��˼�ͳ�˻ȤäƤ褤���Ȥˤ��롣)

���ʤߤ� $D_1$ �ϼ��Τ褦���ΰ�Ǥ��롣

�����ˤ����п�������Ȥ�ȡ������ʤäƤ��줤�� (������ޥ���):

��̤ˤĤ��Ƥ������������6F ���طǼ��ĤǹԤʤ����������ν�����3������콵������ ������ͽ�ꡣ�Ǽ��ޤǤ� ���ӤˤĤ��Ƥμ���ˤϰ��ڱ������ʤ���

����

(1)

$$f_x= \begin{pmatrix} 4 e^{4 x +y} \\ 1 \end{pmatrix},\quad f_y= \begin{pmatrix} e^{4 x +y} \\ 1 \end{pmatrix}.$$

(2)

$$Df(P)= \begin{pmatrix} 4 e^{4 a +b}& e^{4 a +b}\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$

�������äơ����ι��󼰤�

$$\operatorname{det}(Df(P))= 3 e^{4 a +b}$$

�Ǥ��롣

(3)

$$f( \begin{pmatrix}a+h \\ b+k \end{pmatrix} )= \begin{pmatrix}e^{4... ...d{pmatrix} = \begin{pmatrix}e^{4 a + b} e^ {4 h + k}\\ a+ b+ h +k \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix}e^{4 a + b} (1+(4 h + k)+\frac{1}{2}(4 h +k)^2 )... ...vert\begin{pmatrix}h \\ k\end{pmatrix}\vert\vert^2))\\ a+ b+ h +k \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix}e^{4 a + b}\\ a+ b \end{pmatrix} + \begin{pmatri... ... \\ \end{pmatrix} +o(\vert\vert\begin{pmatrix}h \\ k\end{pmatrix}\vert\vert^2))$$

���󼡶�������פȤ�������������Ȥ��ƤϤ���ǽ�ʬ�Ǥ��롣 �������⤦�����������쥤�ʽ�����ʲ��˽񤤤Ƥ�������

$$f( \begin{pmatrix}a+h \\ b+k \end{pmatrix} )$$

$$= \begin{pmatrix}e^{4 a + b}\\ a+ b \end{pmatrix} + \begin{pmatri... ... \\ \end{pmatrix} +o(\vert\vert\begin{pmatrix}h \\ k\end{pmatrix}\vert\vert^2))$$

$$=f( \begin{pmatrix}a \\ b \end{pmatrix} ) +Df( \begin{pmatrix}a \... ... \\ \end{pmatrix} +o(\vert\vert\begin{pmatrix}h \\ k\end{pmatrix}\vert\vert^2))$$

����(�����) �� $f$ �� $P$ �Ǥ��ͤǤ��ꡢ�����(�켡�ι�)�ϡ� ���� $Df(P)$ �ˤ��ɽ������롣��ǰ�ʤ��顢�󼡤ι�ˤĤ��Ƥϡ� ����ۤɴ��ؤʽ����Ϥʤ���(�����Ƹ����С��֥ƥ󥽥뻻�פ� ��ɽ���롣)�ޤ����󼡤ι�ˤĤ��ƤϺ���ξ��ˤĤ��ƤϾ�η��� ��ʬ��ñ�Ǥ���Τǡ� Ÿ�����Ƥ⡢���ʤ��Ƥ�ɤ���Ǥ�褤��

�ʤ�����β����򸫤���������Ĥ��褦�ˡ�(1) ��(2)�� $Df$ ����٥��ȥ�򸫤�� �褤(�դ˸����С�(2)����Ⱦ��(1)��������ñ���¤٤���ɤ�)���� (3)�ΰ켡�ι����Ф��С�(1)�����(2)����Ⱦ����ưŪ�������롣

(4)

$$\int_{D_1} u^{-1} du dv = \int_{D} e^{-(4 x +y)}\cdot (3 e^{4 x +y}) dx dy =3 \int_{D} d x d y=3.$$

�ѿ��Ѵ��ǵ���Ĥ��ʤ���Фʤ�ʤ��Τϡ�

1. �ΰ���Ѵ� ($D_1$ �� $D$ �ˡ�)
2. ��ʬ�ؿ����Ѵ�( $u^{-1}$ ��$e^{4 x+y}$ �ˡ�)
3. ¬�٤��Ѵ�( $du dv$ �� $3 e^{4 x +y}$ �ˡ�)

�Ǥ��롣 $D$ �� $D_1$ �� $f$ �ǰ��а���б����뤳�Ȥϡ�$\log$ ���Ѥ��� $f$ �εռ����������뤳�Ȥˤ���ưפ˼������Ȥ��Ǥ��롣 ��̣�Τ���ԤϤ�äƤߤ�Ȥ褤��