���ϳ� IA No.14����

¿�ѿ��ؿ���(�꡼�ޥ�)��ʬ(5) �ѿ��Ѵ�(�ĤŤ�)��

�ѿ��Ѵ�

$$x=r \cos(\theta)$$

$$y=r \sin(\theta)$$

��޼�����ȡ����Τ褦(���ޤ��鱦�ޤ��Ѵ�)�ˤʤ롣

�����ʶ��Ĺ���� $[r_0,r_0+d r)\times [ \theta_0,\theta_0+d \theta)$ ��Ǥ� ����Ѵ��Ϥ�����������Ѵ�

$$\begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0& r_0 \end{pmatrix}$$

�Ƕ�����졢��äƤ������Ѥ��Ѵ��ˤ�äƤۤ� $r_0$ �ܤˤʤ롣

$$D=\{(x,y); x>0,y>0, \sqrt{x^2+y^2}<R\}$$

�����ʬ

$$\int_{D} e^{-(x^2+y^2)} d x d y$$

������

$$\tilde D=\{ (r,\theta); 0<r<R, 0<\theta<\pi/2\}$$

�����ʬ

$$\int_{\tilde D} e^{-r^2} r d r d \theta$$

�Ȥʤ롣������ưפ�(�߼���ʬ�ˤ��)��ʬ���������

$$\frac{\pi}{4}(1- e^{-R^2})$$

�Ǥ��롣 ���Τ��Ȥϰ��ѿ�����ʬ�ˤ���Ѥ���ơ�

$$\int_{0}^\infty e^{-x^2}d x=\frac{\sqrt{\pi}}{2},\quad \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}d x=\sqrt{\pi}$$

�����롣

�ѿ��Ѵ��ΰ켡�����Jacobian, ��ʬ���ѿ��Ѵ�����Ʋ�˲񤹤� �����դ��������ˤʤ�Ǥ���������������ͤ����� �ɤ��ȤˤĤ��Ƥ������ȡ�