���ϳ� IA No.12����

¿�ѿ��ؿ���(�꡼�ޥ�)��ʬ(3) �ѿ��Ѵ���

���������Ϲ��󼰤δ�����Ū��̣��Ϳ���롣

���� 12.1   �������� $L:$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 ���ΤȤ���Ǥ�դζ��ľ���� $B$ ���Ф��ơ�$B$ �� $L$ �ˤ�� �� $L(B)$ ��¬�٤� $B$ ��¬�٤� $\vert\operatorname{det}(L)\vert$ �ܤǤ��롣 ��äȰ��̤ˡ� Ǥ�դ�¬�ٳ��꽸�� $S$ �� $L$ �ˤ���� $L(S)$ ��¬�ٳ���Ǥ��äơ� ����¬�٤ϡ�����¬�� $\mu(S)$ �� $\vert\operatorname{det}(L)\vert$ �ܤǤ��롣 ���ʤ����

$$\mu(L(S))=\vert\operatorname{det}(L)\vert \mu(S).$$

���ʤꤿ�ġ�

����. �礭�ʹ����񤯤Τ��򤱤뤿��ˡ�$m=2$ �ΤȤ��ǵ������褦�� �չ���η׻�ˡ�ΤȤ�����(�����餯)���ä��褦�ˡ��󼡹��� $A$ �� ������ѷ��򷫤��֤����Ȥˤ���гѹ���ˤǤ��롣 ������ѷ����Τ褦�ʡִ��ܹ���פ� $A$ �˱�����񤱤뤳�Ȥˤ�� �¸��Ǥ���ΤǤ��ä���

$$\begin{pmatrix}a & 0 0 & b \end{pmatrix} \qquad (a,b\in \mbox{${\mathbb{R}}$} )$$ (�гѹ���)

$$\begin{pmatrix}1 & k 0 & 1 \end{pmatrix} ,\quad \begin{pmatrix}1 & 0 l & 1 \end{pmatrix} \qquad (k,l\in \mbox{${\mathbb{R}}$} )$$ (�֥��եȡ׹���)

�����ι���εչ����ɬ�������Υ����פǤ��뤳�Ȥˤ����դ��褦�� ����ȡ�$A$ �Ϥ����Υ����פι���β��Ĥ����Ѥ�ʬ��Ǥ��뤳�Ȥ��狼�롣 �����Υ����פι���ˤĤ��Ƥϡ������η������������� ���󼰤�¬�٤���Ψ�������ѤˤĤ��ƾ�ˡŪ�˿��񤦤��顢 ��ɤɤι���ˤĤ��Ƥ��������������� $\qedsymbol$

$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ ����� $U$ ��Ϳ�����Ƥ��ơ� ���� $\varphi: U \to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ �� $C^1$ -��ΤȤ��� $\varphi$ �� $U$ ��� $a$ �ˤ����� $D\varphi\vert _a$ �� ��������ΤǤ��ä����������äơ�

���� 12.2   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ ����� $U$ ��� $C^1$ ��ؿ� $\varphi$ �� ¬�ٳ��꽸�� $S$ �� $S'=\varphi(S)$ ����ñ�ͤ�Ϳ����Ȥ���

$$\int_{S'} f(y) d \mu =\int_{S} f(\varphi( x)) \vert\operatorname{det}((D\varphi)(x)\vert d \mu$$

���ʤꤿ�ġ�

����ϤĤ��Τ褦�˽񤤤Ƥ��ɤ���

$$\int_{S'} f(y_1,\dots y_m) d y_1 d y_2 \dots y_m$$

$$= \int_S f(y_1(x),\dots y_m(x)) \left\vert \operatorname{det} \left( \frac{\partial y_i}{\partial x_j}(x) \right ) \right \vert d x_1 d x_2 \dots x_m$$

����

$$\operatorname{det} \left( \frac{\partial y_i}{\partial x_j}(x) \right )$$

�Τ��Ȥ��Ѵ��Υ䥳�ӥ���(Jacobian)�ȸƤ֡�

���� 12.1  

$$y_1=x_1 \cos(x_2)$$

$$y_2=x_2 \sin(x_2)$$

���Ѵ��Υ䥳�ӥ������뤳�Ȥˤ�ꡢ

$$D=\{y_1,y_2; y_1>0,y_2>0, \sqrt{y_1^2+y_2^2}<R\}$$

�����ʬ

$$\int_{D} e^{-(y_1^2+y_2^2)} d y_1 d y_2$$

��׻����衣

���ա������ΰ��̤ξ����ˤ��碌�뤿��ˡ� �ѿ�̾�Ȥ��� $y_1,y_2, x_1,x_2$ ������������ �������ϥ����饵�ޤˡֶ˺�ɸ�פؤ��Ѵ��Ǥ��뤫��

$$D_1=\{x,y; x>0,y>0, \sqrt{x^2+y^2}<R\}$$

�����ʬ

$$\int_{D_1} e^{-(x^2+y^2)} d x d y$$

���Ѵ�

$$x=r \cos(\theta)$$

$$y=r \sin(\theta)$$

�� $(r,\theta)$ ����ʬ���ѿ��Ѵ����Ʒ׻����衣 �ȸ��äƤ��ɤ��ä����Ȥ������������������䤹���������� �ɤ���Υ�������Dz������Ƥ��ɤ����Ȥˤ��롣