���ϳ� IA No.11����

¿�ѿ��ؿ���(�꡼�ޥ�)��ʬ(2)

���� 11.1   ����ѥ��Ƚ��� $K$ ���(�¿��ͤ⤷���ϥ٥��ȥ���)Ϣ³�ؿ� $f$ �ϰ���Ϣ³�Ǥ��롣 ���ʤ����

$$\forall \epsilon>0 \exists \delta >0 ... ...ll x\in K \forall y\in K \quad(d(x,y)< \delta \implies d(f(x),f(y))<\epsilon).$$

��������ηϤ�Ҥ٤뤿��ˡ������Ĥ����դ��Ѱդ��褦��

��� 11.1   ���� $S$ ���(�¿��ͥ٥��ȥ���)�ؿ� $f,g$ ������Ȥ��롣 �¿� $\epsilon>0$ �ˤ������ơ�$f$ �� $g$ �� $\epsilon$ -����Ǥ���Ȥϡ� $S$ �Τɤ��� $x$ �Ǥ� $f(x)$ �� $g(x)$ �ε�Υ�� $\epsilon$ ��꾮�Ǥ��� ���ȡ����ʤ��

$$\forall x\in S \quad \vert\vert f(x)-g(x)\vert\vert< \epsilon$$

�ΤȤ��˸������Ȥˤ��롣

��� 11.2   ¬�ٳ���ν��� $S$ ���(�¿��ͤ⤷���ϥ٥��ȥ���)�ؿ� $f$ �� (���ιֵ��ΰ�̣��) ���ʴؿ��Ǥ���Ȥϡ� $S$ ͭ�¸Ĥ���ʬ���� $S_1,S_2,\dots, S_t$ �����äơ��Ĥ��Τ��Ȥ��ʤꤿ�ĤȤ��˸�����

1. $S$ �� $S_1,S_2,\dots, S_t$ �θߤ��˸���ʤ��½���Ǥ��롣
2. �� $S_j$ ��¬�ٳ���Ǥ��롣
3. $f\vert _{S_j}$ ������ͼ�������������

��� 11.3   ¬�ٳ���ν��� $S$ ���(�¿��ͤ⤷���ϥ٥��ȥ���)�ؿ� $f$ �� ���ʴؿ��ǰ��Ͷ����ǽ�Ǥ����Ȥϡ� Ǥ�դ� $\epsilon>0$ �ˤ������ơ�$f$ �� $\epsilon$ -�������褦�ʳ��ʴؿ� $g_\epsilon$ ��¸�ߤ���Ȥ��˸�����

�� 11.2   ����ѥ��Ƚ��� $K$ ���(�¿��ͤ⤷���ϥ٥��ȥ���)Ϣ³�ؿ� $f$ �� ���ʴؿ��ǰ��Ͷ����ǽ�Ǥ��롣

����ѥ��Ȥ���¬�ٳ���ν��� $K$ �ˤ������ơ� $K$ ��Υ٥��ȥ��ʹؿ� $f$ �����ʴؿ��ǰ��Ͷ����ǽ�Ǥ���С� $K$ ��� $f$ ����ʬ $\int_K f d\mu$ ����������ˤ�������뤳�Ȥ��Ǥ��롣 ��ηϤˤ�ꡢ $f$ ��Ϣ³�ʤ�� $f$ ����ʬ����ޤ롣

̿�� 11.3   $K$ �����ʬ�ϼ����������ġ�(�ʲ���$f,g$ ���ϳ��ʴؿ��ǰ��Ͷ���Ǥ��� ��Τ�ͤ��Ƥ����ΤȤ��롣)

1. (������) $f$ ���¿��ʹؿ��ΤȤ��� $f\geq 0 \implies \int_K f \geq 0$
2. (������ʬɾ��)Ǥ�դμ¿��ͤ⤷���ϥ٥��ȥ��ʹؿ� $f$ �ˤ������ơ�
   $$\vert\vert\int f d \mu\vert\vert \leq \int_K \vert\vert f\vert\vert d \mu.$$

3. (����ؿ�����ʬ) $\int_K v d\mu = \mu(K) v$ .
4. (��ʬ��Ϣ³��) $f$ �� $g$ �� $\epsilon$ -����ʤ顢
   $$\vert\vert\int f d\mu - \int g d \mu\vert\vert \leq \epsilon \mu(K).$$

�ܳ�Ū�ˤϡ����ʴؿ��ˤĤ��ƾ��̿�꤬���������Ȥ��ǧ������ǡ� Ϣ³���ˤ����ʬ��ֳ��ʴؿ��ǰ��Ͷ����ǽ�ʴؿ��פˤޤdz�ĥ���� ���Τ褦�˳�ĥ������ʬ���Ф��Ƥ���̿�꤬�ʤꤿ�Ĥ��Ȥ򼨤��Τ��褤��

Ʊ�ͤζ���ε����ˤ�ꡢ�Ĥ��Τ��Ȥ��狼�롣 ���Ҥ��ñ�ˤ��뤿��ˡ��ä� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ �˸��ꤹ�뤬���⼡���Ǥ� ������Ʊ���Ǥ��롣

���� 11.4   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ ����ʬ���� $D$ �������Τ褦��Ϣ³�ؿ� $a,b$ ���������� �����Ȥ��롣(��������)

$$D=\{ (x,y)\in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^2; c\leq x \leq d , a(x)\leq y \leq b(x) \}.$$

���ΤȤ���$D$ ��Ρ����ʴؿ��ǰ��Ͷ����ǽ�ʴؿ� $f$ �ˤ������ơ�

$$\int_D f(x,y) d\mu= \int_c^d( \int_{a(x)}^{b(x)} f(x,y) d y) d x$$

���ʤꤿ�ġ�

��ʬ��ͤ��뽸�� $S$ ������ѥ��ȤǤʤ����䡢 $f$ ��ͭ���Ǥʤ����Ϥɤ����������� ���ξ��� $S$ �� $f$ ��Ŭ���ˡ��ڤäơפ��餽�ζ˸¤�Ȥ�Τ��褤�� ���Τ褦�ˤ���������줿��ʬ��������ʬ�ȸƤ֡� �ܺ٤϶��ʽ�򻲾ȤΤ��ȡ�

��� 11.4 (������ʬ)  

1. ��ͭ���� $S \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ ��¬�ٳ���Ǥ���Ȥϡ�Ǥ�դε��� $B_r(a)$ ( $r>0,a\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m)$ �ˤ������ơ� $S\cap B_r(a)$ ������ΰ�̣��¬�ٳ���ΤȤ��˸������Ȥˤ��롣
2. ���ʹؿ� $f$ �� $S$ ����ʬ��ǽ�Ǥ���Ȥϡ� Ǥ�դ� $M>0$ ��Ǥ�դε��� $B_r(a)$ �ˤ������ơ� $\min(f,M)$ �� $S\cap B_r(a)$ �dz��ʴؿ��ǰ��Ͷ����ǽ������
   $$\sup_{M>0, r>0,a\in \mbox{${\mathbb{R}}$}^m} \int_ {B_r(a)\cap S} \min( f(x),M) d \mu<\infty$$
   ���ʤꤿ�ĤȤ��˸������Ȥˤ��롣
3. �٥��ȥ��ʹؿ� $f$ �����ο� $M$ ���Ф��ơ�
   $$% latex2html id marker 1110f^M(x)= \begin{cases} f(x)& (\v... ...\ 0 & (\vert\vert f(x)\vert\vert>M \text{ ¤Î¤È¤­}) \end{cases}$$
   ��������롣Ǥ�դ� $M$ �ˤ������ơ�$f^M$ �����ʴؿ��ǰ��Ͷ����ǽ�ǡ� �������ʹؿ� $x\mapsto \vert\vert f(x)\vert\vert$ ����ʬ��ǽ�ʤ��
   $$\int_ {B_r(0)\cap S} f^M(x) d\mu$$
   �� $r\to \infty, M\to \infty$ �ΤȤ���������ͤ˼�«���롣���ΤȤ��� ���ζ˸¤�
   $$\int_ {S} f(x) d\mu$$
   �Ƚ񤯡�

�������Τ褦�˷���줿��ʬ�����м�«������ʬ�ȸƤФ�롣 ��ʬ�����м�«������ˤϡ��ʤˤ��Τ褦�˵��Τ��ڤ�ʤ��Ƥ⡢ ¾��ͭ�����ΰ���ڤäƤ��Ŭ�ڤʡ׶˸¤�Ȥ�¤����ʬ���ͤ� Ʊ���ˤʤ롣