���ϳ� IA No.10����

¿�ѿ��ؿ���(�꡼�ޥ�)��ʬ

$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ ����ʬ���� $D$ ���������줿�¿��ͤ⤷���ϥ٥��ȥ��ʹؿ� $f$ ���Ф��ơ� $f$ �� $D$ �����ʬ(����ʬ)�ϼ��Τ褦���������롣

1. $D$ �򾮤�����ʬ���� $\{D_j\}$ ���¤�ʬ���롣
2. $f$ �� �� $D_j$ �������ʹؿ� $c_j$ �Ƕ�����롣
3. ��ʬ�ͤΰ�Ĥζ���Ȥ��ơ� $\sum_j c_j \mu(D_j)$ �����롣 ������ $\mu(D_j)$ �� $D_j$ �����ѤǤ��롣
4. ��ʬ $\{D_j\}$ ��٤��������Ȥ�����Τ褦�ʶ������Ť��ͤ�����ʤ顢 ����� $\int_D f$ ��������롣

���꤬�����Ĥ����롣

1. ���������� $D_j$ ������ $\mu(D_j)$ ��ǡ��������������������� ����ˤϼ��� $n$ �ˤĤ��Ƶ�ǼŪ�˵�������$n-1$ ��������ʬ��������뤫�� �⤷���� $D_j$ �Ȥ���ľ���ΤΤ褦�ʸ���Ū�ʤ�ΤΤߤ򰷤���ˡ�����롣
2. $D_j$ �Ȥ���ľ���ΤΤ褦�ʸ���Ū�ʤ�Τ�Ȥ���硢$D$ �򤽤Τ褦�ʤ�Τ� ����­�ʤ�ʤ�����Ȥ��񤷤��ʤ롣 ����ˤϼ㴳�Ρ֤Ϥ߽Ф��פ⤷���ϡ���­��ʬ�פ�����ơ� ���ȤǤ����δ�Ϳ����ʬ�������ʤ뤳�Ȥ򼨤���ˡ�����롣
3. ��ʬ��٤�������Ȥ����Ϥ������������� $\sum_j c_j \mu(D_j)$ �� �������ʤ��������������� $f$ ���ɤΤ褦�ʴؿ����ˤ�ä��Ѥ�äƤ��롣 (����ѥ��Ƚ�����Ϣ³�ؿ��ʤ�� $D_j$ ��ǰ��Ͷ���Ǥ����������)
4. ���Τ褦����ʬ�Ϻ�ɸ�μ�����ˤ��ʤ���������? (��ľ���Ρפ� ����˺�ɸ�μ�����˰�¸���롣���ʤ����ľ���ΤϺ�ɸ�Ѵ�������̤Υ�Τˤʤä� ���ޤ���)

�꡼�ޥ���ʬ�Ϥ������������˲�����Ϳ���뤬����ʬ�Ȥϸ����ʤ��� Ű��Ū�˲�褹�뤿��ˤϥ�١�����ʬ�򥪥����᤹�롣

�����ϸ��äƤ⡢�֤ʤ�Ǥ⤫��Ǥ��١�����ʬ�פǤ������̣�����������줷�� ����ʤΤǡ�����äȤ��餤�ϰ��äƤ�������

��� 10.1  

1. ���ľ���ΤȤϡ�
   $$I=[a_1,b_1)\times [a_2,b_2) \times \dots [a_n,b_n)$$
   ��ɽ����� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ ����ʬ����Τ��ȤǤ���ȷ��롣
2. ��ζ��ľ���Τ�¬�٤Ȥϡ�
   $$\mu(I)=(b_1-a_1)(b_2-a_2) \dots (b_n-a_n)$$
   ������������Τ��ȤǤ����������롣
3. ���̤� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ ����ʬ���� $S$ ���Ф��ơ����Υ�������¬�٤Ȥϡ� ��$S$ ��ͭ�¸Ĥζ��ľ���� $\{I_1,I_2,\dots, I_k\}$ ��ʤ�ä��Ȥ��� ľ���Τ������� $\mu(I_1)+\mu(I_2)+\dots + \mu(I_k)$ �פ� ��ʤ�������˴ؤ��벼�¡դȤ���������롣����� $\mu^+(I)$ �Ƚ񤯤��Ȥˤ��롣
4.    $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ ��ͭ���ʽ��� $S$ ���Ф��ơ� $S$ ��ʬ�礭�ʶ��ľ���� $I$ ��ʤ�äơ� $\mu^+(I)-\mu^+(\complement S)$ ��ͤ���ȡ� ����� $I$ �μ�����ˤ�餺����ޤ롣 �����ͤΤ��Ȥ� $I$ �Υ���������¬�٤ȸƤӡ�$\mu^-(S)$ �Ƚñ¤¯¡ï¿½
5. $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ ��ͭ���ʽ��� $S$ ���� $\mu^+(S)=\mu^-(S)$ ���������Ȥ��� $S$ �Τ��Ȥ򥸥�����ΰ�̣��¬�ٳ���Ȥ�����

̿�� 10.1   ��������γ�¬�٤�����ǡ�$S$ ��ʤ�����ľ���Τϸߤ��˸���ʤ� ��ΤΤߤ˸��ꤷ�Ƥ��̤Ϥ��ʤ��Ǥ��롣

���̿��ϥ�������ή�Ρ���ͭ�¤ζ��ľ���Τ�ʤ���פ��������� ̿��ǡ���١���ή�Ρ��ֲĻ��Ĥ�ʤ������ˡ�ǤϤ�Ϥ�ʤꤿ���ʤ���

�� 10.2  

1. ���ľ���Τ�¬�ٳ���Ǥ��ꡢ $\mu^+(I)=\mu(I)$ .
2. ���̤�ͭ������ $S\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ �ˤ������ơ� $\mu^+(S)\geq \mu^-(S)$ ���ʤꤿ�ġ�

��Τ��Ȥ����뤫�顢 $S$ ¬�ٳ���ξ��� $\mu^+(S)$ �Τ��Ȥ�ñ�� $\mu(S)$ �Ƚ񤤤Ƥ⺹���٤��ʤ���

���� 10.1   ʿ�̻��ѷ�

$$S=\{(x,y)\vert 0\leq x\leq y \leq 1\}$$

����Ĺ������ʤ�äơ� $\mu^+(S)\geq \frac{1}{2}$ ��������ʤ�����

�ռ��������ξ���

���� 10.1 (�̾������θ���)   $K\subset$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ ��������줿 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ -�ʹؿ� $f$ �� �̾������Ǥ��롢���ʤ��

1. $f(K)\subset K$
2. $d(f(x), f(y))\leq \frac{1}{2} d(x,y)$

���������Ȥ��롣���ΤȤ���

(1).

$f$ ��ͣ��Ĥ���ư�� $x_0\in K$ ����ġ�(���ʤ���� $f(x_0)=x_0$ ).

(2).

Ǥ�դ� $a\in K$ ���Ф��ơ����� $\{a_n\}_{n=0}^\infty$ ��

$$a_0=a, \quad a_{n+1}=f(a_n) \quad (n=0,1,2\dots)$$

���������ȡ�$a_n$ �� $f$ ����ư�� $x_0$ �˼�«���롣

(3).

$K$ ��ͭ���ǡ� $K\subset B_r(0)$ �Ȥ��롣 ���ΤȤ����嵭 $\{a_n\}$ ���Ф��ơ� $b_n=a_{n+1}-a_{n}$ ���������С� $b_n \leq \frac{1}{2^n}\vert 2r\vert$ �ǡ����ġ� $x=a_0+\sum_{j=1}^\infty b_j$ ���ʤꤿ�ġ�

����9.1 �ε���ǤĤ��Τ褦�ʷ׻���Ԥ��ȡ� $y\in B_1$ ��ߤ�뤴�Ȥˡ� $f(y,\bullet)$ ���̾������Ǥ��뤳�� (�������ä�����9.3������������)�������롣 $f(B_0)\subset B_0$ ��������٤�����������ϡ���������פȤ��� �Ĥ��Ƥ�������(��ݡ�������ǤϤʤ���))

$$\vert\vert\varphi(y,x_1)-\varphi(y,x_2)\vert\vert$$

$$= \vert\vert x_1-x_2+L\int_0^1 f'(x_1+t(x_2-x_1))dt \cdot (x_2-x_1)\vert\vert$$

$$= \vert\vert\int^1_0(-I+Lf'((x_1+t(x_2-x_1)) dt \cdot (x_2-x_1)\vert\vert \leq \frac{1}{2} \vert\vert x_2-x_1\vert\vert$$

�������μ�ĥ(3)�ˤ�ꡢ����9.3 �Ρֳ�����«�פϼ¤ϡְ��ͼ�«�פ� ���äƤ����������Ȥ�ʬ���롣Ϣ³�ؿ��ΰ��Ͷ˸¤�Ϣ³�Ǥ��뤫�顢 $g$ ��Ϣ³�ؿ��Ǥ��롣 $g$ ������ˤ�ꡢ $f\circ g={\operatorname{id}}$ �Ǥ��뤳�Ȥ��ưפ�ʬ���롣���Ȥ� �����Ǥ���褦��