���ϳ� IA No.9����

�ռ���������

��� 9.1  

1. $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ �Υ٥��ȥ� $v=(v_1,v_2,\dots,v_m), w=(w_1,w_2,\dots,w_m)$ ���Ф��� ��Ĥ�������
   $$\langle v, w \rangle=\sum_{j=1}^m v_j w_j$$
   ��������롣
2. $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ �Υ٥��ȥ� $v$ �ΥΥ���
   $$\vert\vert v\vert\vert=\sqrt{\langle v,v\rangle }$$
   ��������롣
3. ($v,w$ �Τ��ιֵ����Ѥ������Υ(�桼����åɵ�Υ)�� $d(v,w)=\vert\vert v-w\vert\vert$ ����������ΤȰ��פ��롣)
4. ���� $P\in M_{l,m}($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ ���Ф������������ǥΥ�� ��
   $$\vert\vert P\vert\vert=\sup_{\substa... ...{\mathbb{R}}$}^l\\ Vert\vert v\vert\vert\leq 1}} \vert\vert P\cdot v\vert\vert$$
   ��������롣

���̤ˡ��٥��ȥ�������Ф���Υ�������Ϥ����Ĥ⤢�ꡢ ���λ����������ʤ�Τ��Ѥ���Τ��ɤ��������Ǥϲ��夷�� ��Τ�ΤΤߤ�ͤ��뤳�Ȥˤ��롣

���� 9.1  

1. ���Ѥ��������Ǥ��롣
2. �٥��ȥ���Ф��ƤΥΥ�� $v \mapsto \vert\vert v\vert\vert$ �� �Υ��θ������������� ���ʤ����
   1. $\forall v \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ $\vert\vert v\vert\vert\geq 0$ .
   2. $\vert\vert v\vert\vert=0 {\Leftrightarrow} v=0$ .
   3. $\forall v,w \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m \quad \vert\vert v+w\vert\vert\leq \vert\vert v\vert\vert +\vert\vert w\vert\vert$ .
   4. $\forall c\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\forall v \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m \quad \vert\vert c v\vert\vert=\vert c\vert\cdot \vert\vert v\vert\vert$ .

3. ���� $P$ ���Ф��ơ����κ����ǥΥ��Ͼ��ͭ�¤Ǥ��ꡢ $P\mapsto \vert\vert P\vert\vert$ �ϥΥ��θ�������������
4. Ǥ�դι��� $P$ ��(����Ⱦ軻��ǽ�ʥ����������)Ǥ�դΥ٥��ȥ���Ф��� $\vert\vert P\cdot v\vert\vert \leq \vert\vert P\vert\vert\cdot \vert\vert v\vert\vert$ ������Ω�ġ�

���� 9.1   $U$ �� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ �γ�����Ǥ���Ȥ��� $f: U \to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ �� $C^1$ ��Ǥ���Ȥ��롣 (�������Ͱ�μ�����Ʊ���Ǥ��뤳�Ȥ����ա�) $x_0\in U$ �ˤ����ơ� $Df\vert _{x_0}$ ������Ȥ��ƲĵդǤ���Ȳ��ꤷ�� ���εչ���� $L$ �Ȥ����� ���μ¿� $r_0$ �ò¼¡¤Î¤è¤¦ï¿½Ê¾ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Â­ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½è¤¦ï¿½Ë¤È¤ë¡£

$$x \in B_0\overset{\operatorname{def}}{=}B_{r_0}(x_0) \implie... ...f(x_0)\vert\vert<\frac{1}{2 \vert\vert L\vert\vert} \end{cases}$$

$($ $f$ �� $C^1$ ����Ȥ�������ˤ�ꤳ�Τ褦�� $r_0$ ��¸�ߤ��롣$)$ ���ΤȤ���

1. $f$ �� $B_0$ ��ñ�ͤǤ��롣
2. $r_1= \frac{r_0}{2 \vert\vert L\vert\vert}$ , $B_1=B_{r_1}(f(x_0))$ �Ȥ����ȡ�$B_1$ ��������줿 $C^1$ ��ؿ� $g$ ��¸�ߤ��ơ�
   $$f \circ g\vert _{B_1}=id_{B_1}$$
   ���ʤꤿ�ġ�

��������ξ����Υ���ϡ��ʲ�������(Newton ˡ)�Ǥ��롣 ��������$Df_x$ �εչ���ΤȤ����� $L$ ���֤���������ʬ������ʪ�� Newton ˡ�Ȥϰۤʤ롣

���� 9.2   �����β���β��ǡ� ���Τ褦�� $B_1\times B_0$ ��� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ �ʹؿ���ͤ��褦��

$$\varphi(y,x)=x+ L (y-f(x)) \qquad (x\in B_0, y\in B_1)$$

����ȡ� $\varphi$ ������ $B_0$ �����롣

���� 9.3   ��������β���Τ�Ȥǡ��������� $\varphi$ ��ͤ��ơ� ���Τ褦�� $B_1$ ��δؿ��� $\{g_j\}_{j=1}^\infty$ ��������롣

$$\begin{cases} g_1(y)=x_0 & \text{\rm {(}Äê¿ô´Ø¿ô\rm {)}} \\ g_{j+1}(y)=\varphi(y,g_j(y)) \end{cases}$$

����� $\{g_j\}$ �Ϥ���ؿ� $g(x)$ �˳�����«���롣

���� 9.2  

$$f\circ g={\operatorname{id}}$$

�ΤȤ���

$$Dg\vert _y= (Df\vert _{g(y)})^{-1}$$

�Ȥ��ˡ�$f$ �� $C^n$ ��ʤ顢$g$ �� $C^n$ ��Ǥ��롣

�ռ��������Ǥϡ��������Ͱ���������������� �ʤ������� $x_0$ �Ǥ� $f$ ����ʬ $Df\vert _{x_0}$ �� �ĵդǤ��뤳�Ȥ�Ŭ�ѤΥݥ���ȤǤ��롣 �����������Τ褦�ʹͤ������Ѥ��ơ� �������Ͱ�μ������㤦���ˤ⡢�մؿ�����������Ѥ��뤳�Ȥ��Ǥ��롣 �����Ǥ���ޤ��ʹͤ����Τ߽񤤤Ƥ�������(�ܺ٤ϸ�渦��)

̿�� 9.3 (���ؿ�������)   $f:$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^{n+s} \to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ �� $C^\infty$ ��ǡ��ʤ�������������

$$\hat f: (x,y)\to (f(x,y),y)\in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^{n+s} \quad (x\in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^n, y\in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^s)$$

�� $\operatorname{det}(D \hat f\vert _{(x_0,y_0)})\neq 0$ ����­�����Ȥ��롣 $c=f(x_0,y_0)$ �Ȥ������� ���ΤȤ� $\hat f$ �ζɽ�Ū�ʵռ���

$$\hat g:(x,y)\to (g(x,y),y) \quad (x\in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^n, y\in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^s)$$

��¸�ߤ��롣 ���ʤ���� $f(g(x,y),y)=x$ �� $(c,y_0)$ �˶ᤤ���٤Ƥ� $x,y$ ���Ф�������Ω�ġ� �Ȥ��ˡ� $h(y)=g(c,y)$ ��

$$f(h(y),y)=c$$

�򤹤٤Ƥ� $y$ �ˤĤ�����­���롣����ϡ������� $f(x,y)=c$ �� $y$ �ˤĤ��� �򤤤����Ȥ���������(���ؿ�)��

�ռ����������䱢�ؿ�����������ʬ��ǽ¿���Τ� ����(�Ȥ��������ߤ�������ߤε������ð����ε����ʤ�)�ˤ����ƴ���Ū�ˤʤ롣

����ݡ�������

(���¡����ιֵ��ν�λ���ޤǡ�)

���� 9.1  

$$f: \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} x^3 -y^2 \\ y \end{pmatrix}$$

�ʤ�(���ѿ��٥��ȥ���)�ؿ��� $(a,b)$ �ˤ�������ʬ $Df\vert _{(a,b)}$ �� ��Ȥ�衣 $\operatorname{det}(Df\vert _{(a,b)})=0$ �Ȥʤ�ΤϤ��Ĥ�������? (�Ĥޤꡢ$(a,b)$ �� �ɤΤ褦���ͤΤȤ���?)

���� 9.2   ����� $f$ ��̿��9.3 �� $\hat f$ �Ȥߤ� (�Ĥޤ� $f(x,y)=x^3-y^2$ �Ȥߤ�)̿��9.3�ˤ���褦�˵ռ��������� Ŭ�Ѥ���ȡ� �ɤΤ褦�ʱ��ؿ��� ���뤳�Ȥ��Ǥ����������?���ʤ�����ɤΤ褦������������­����褦�� �ؿ� $h$ �����뤳�Ȥ��Ǥ����������?