���ϳ� IA No.7����

¿�ѿ��ؿ��Υƥ��顼Ÿ��

���� 7.1 (����6.1�Ȥ��ƴ���)   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^l$ ����� $U$ ���� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ �ؤ� $C^1$ ����� $f$ �ˤĤ��ơ� $U$ ���� $a$ �� $x=a+h$ �Ȥ�ޤ���ʬ�� $U$ �˴ޤޤ�Ƥ���Ȥ���Ȥ�������

$$f(a+h)=f(a)+\int_0^1 Df(a+t h) \cdot h dt$$

������Ω�ġ�

����� $h$ ����ʬ���Ѥ��ƽ񤯤ȼ��Τ褦�ˤʤ롣

$$f(a+h)=f(a)+\sum_{j=1}^l \int_0^1 f_{x_j}(a+t h) h_j dt$$

�����ξ����ˤ�

$$g(t)=f(a+ th )$$

�ˤ���������ʬ��ʬ�ؤδ���������Ԥ����ɤ���

���� 7.2 (���ʽ�``��3.9'')   $f$ �� $I=[0,1]$ ��ޤ�褦�ʳ���־�� $C^{n+1}$ ��ؿ��ΤȤ���

$$f(x)=\sum_{k=0}^n \frac{f'(0)}{j!} x^k + \int_0^x \frac{ (x-t)^{n}}{n!} f^{(n+1)} (t) dt$$

���� 7.3   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^l$ ����� $U$ ���� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ �ؤ� $C^{n+1}$ ����� $f$ �ˤĤ��ơ� $U$ ���� $a$ �� $x=a+h$ �Ȥ�ޤ���ʬ�� $U$ �˴ޤޤ�Ƥ���Ȥ���Ȥ�������

$$f(a+h)= f(a)+ \sum_{k=1}^n \sum_{j_1,j_2,\dots,j_k=1}^l \frac{f_{x_{j_1}\dots x_{j_k}}(a)}{k!} h_{j_1}h_{j_2} h_{j_3}\dots h_{j_k}$$

$$+ \int_0^1 (1-t)^n \sum_{j_1,j_2,\dots,j_n,j_{n+1}=1}^l \frac{f_{x_{j_1}\dots x_{j_{n+1}}}(a+t h)}{n!} h_{j_1}h_{j_2} h_{j_3}\dots h_{j_{n+1}} dt$$

������Ω�ġ�

��μ����˻������Ƹ��ˤ��������Τ�ʤ��� ���Τ褦�ʺ����� $\mathfrak{d}_h$ ��Ƴ�����롣

$$\mathfrak{d}_h= h_1\frac{\partial}{\partial x_1} +h_2\frac{\part... ... +h_3\frac{\partial}{\partial x_3} +\dots +h_l\frac{\partial}{\partial x_l}$$

����ȡ���������μ��ϼ��Τ褦�ˤ�񤯤��Ȥ��Ǥ��롣

$$f(a+h)= f(a)+ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}(\mathfrak{d}_h^k f)(a) + \int_0^1 (1-t)^n \frac{ (\mathfrak{d}_h^{n+1}f)(a+t h)}{n!} dt$$

������Ω�ġ�

���ѿ��ξ��ˤĤ��ơ��ƥ��顼Ÿ�����ɤ��������˸����뤫�ˤĤ��Ƥ� ���ʽ��4.3.2�⻲�ȤΤ��ȡ�

����ݡ�������

(���¡����ιֵ��ν�λ���ޤǡ�)

���� 7.1   ���� 7.3 �˴�Ť��ơ� $f(x,y)=\sin(x y^2)$ �ˤĤ��ơ� $f(a+h,b+k)$ �� $h,k$ �ˤĤ��Ƥ�2���������ʤ����� �Ǥ��뤳�Ȥʤ�о�;�����ʬɽ������Ƥߤ뤳�ȡ�