���ϳ� IA No.6����

����ʬ�ˤ��ɽ����¿�ѿ��ؿ��Υƥ��顼Ÿ������

������äǤϡ��Ĥ��Τ褦�ʤ��Ȥ򤿤Ӥ����Ѥ��롣

���� 6.1   $[a,b]$ ��������줿(�¿��ͤ⤷���ϥ٥��ȥ���)Ϣ³�ؿ� $f$ ������

$$\vert\vert\int_a^b f(t)d t \vert\vert \leq \int_a^b \vert\vert f(t)\vert\vert d t$$

������Ω�ġ�

�轵������5.3 �ξ������ĤäƤ����� ���Τ褦����ʬ�η׻������ܤˤʤ롣 �ޤ�������ʬ�δ������������ưפ˽������ѿ��ξ�硣

$$f(x)=f(a)+(x-a)\int_0^1 f'(a+(x-a) t)$$

���ϡ�������Ѥ������ѿ��ξ�硣

$$f(x,y) =f(a,y)+(x-a)\int_0^1 f_x(a+(x-a)t ,y) dt$$

$$= f(a,b) + (y-b)\int_0^1 f_y(a,b+(y-b)t )dt$$

$$+(x-a)\int_0^1 f_x(a+(x-a)t ,y) dt$$

�Ĥ��Ǥˡ����ѿ����Ȱʲ��Τ褦�ˤʤ롣

$$f(x,y,z) = f(a,b,z) + (y-b)\int_0^1 f_y(a,b+(y-b)t,z )dt$$

$$+(x-a)\int_0^1 f_x(a+(x-a)t ,y,z) dt$$

$$= f(a,b,c) + (z-c) \int_0^1 f_z(a,b,c+(z-c)t )dt$$

$$+ (y-b)\int_0^1 f_y(a,b+(y-b)t,z )dt$$

$$+(x-a)\int_0^1 f_x(a+(x-a)t ,y,z) dt$$

�ʾ�ϡ�����ʬ�ϡּ��������Ѳ��򵭽Ҥ���פȤ������Ȥ��餯�� ���¤β��ǡ���ϫ���� $(a,b,c)$ ���� $(x,y,z)$ �˶�Ť������Ǥ��롣 ��ö����5.3 �����ꤷ����ϡ�$C^1$ ��ؿ��ϼ�ưŪ������ʬ��ǽ�Ǥ��� ���顢�֤ޤä����׶�Ť��ۤ����狼��䤹����

���� 6.1   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^l$ ����� $U$ ���� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ �ؤ� $C^1$ ����� $f$ �ˤĤ��ơ� $U$ ���� $a$ �� $x=a+h$ �Ȥ�ޤ���ʬ�� $U$ �˴ޤޤ�Ƥ���Ȥ���Ȥ�������

$$f(a+h)=f(a)+\int_0^1 Df(a+t h) \cdot h dt$$

������Ω�ġ�

�Թⳬ��ʬ��

��� 6.1   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^l$ ����� $U$ ���� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ �ؤ� $C^1$ ����� $f$ �ˤĤ��ơ�

$$Df: U \ni a \mapsto Df(a) \in M_{m,l}($$$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$)$$

�ϡ� $M_{m,l}($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ �� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^{m l}$ ��Ʊ��뤹�뤳�Ȥǡ�(��)��ʬ��ǽ���� �������뤳�Ȥ��Ǥ��롣$D f$ �� $x=a$ �Ǥ���ʬ��

$$D^2 f \vert _{x=a}$$

�Ƚ񤤤�, $f$ ������ʬ�Ȥ�֡� �Ĥޤꡢ $D^2 f\vert _{x=a}$ �ϡ� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^l$ ���� $M_{m,l}($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ �ؤ����������Ǥ��롣 $D^2 f\vert _{x=a}$ ���� $a\in U$ �ˤĤ���¸�ߤ��ơ�Ϣ³�Ǥ���Ȥ���$f$ �� $C^2$ ���Ǥ���ȸƤ֡�

̿�� 6.2   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^l$ ����� $U$ ��������줿 $C^2$ �� ���� $f : U \to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ �ˤĤ��ơ�

$$f(a+h) = f(a)+ Df(a)\cdot h + \frac{1}{2}\int _0^1 \int _0^t D^2 (f(a+ts h)\cdot h)\cdot h d s d t$$

$$= f(a)+ Df(a)\cdot h + \frac{1}{2} (D^2f(a)\cdot h) \cdot h + o (\vert\vert h\vert\vert^2)$$

������Ω�ġ�

��ʬ��Ʊ�ͤ˹ⳬ��ʬ������ʬ���Ѥ��Ƶ��ҤǤ��롣

̿�� 6.3   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^l$ ����� $U$ ���� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ �ؤμ��� $f$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 ���ΤȤ���

1. $f$ �� $C^2$ ��Ǥ��뤳�Ȥϡ� ���ѿ��˴ؤ�������Ƴ�ؿ� $f_{x_1},f_{x_2},\dots ,f_{x_l}$ �� ¸�ߤ��ơ����Τ��줾�줬 $C^1$ ��Ǥ��뤳�Ȥ�Ʊ�ͤǤ��롣
2. $f$ �� $C^2$ ��Ǥ������
   $$f_{{x_i} {x_j}}= f_{{x_j} {x_i}}$$
   ���ʤꤿ�ġ�

(2)�ξ����Ǥ����ѿ��ξ�礬�ܼ�Ū�Ǥ��롣

$$f(x+h,y+k)-f(x,y+k)-f(x+h,y)+ f(x,y)$$

����Ĥ�ƻ�ڤ���ʬɽ�����뤳�Ȥˤʤ롣

����ݡ�������

(���¡����ιֵ��ν�λ���ޤǡ�)

���� 6.1   ���� 6.1 �˴�Ť��ơ� $f(x,y)=\sin(x y^2)$ �ˤĤ��ơ�

$$f(a+h,b+k)$$

�� $h,k$ �ˤĤ��Ƥ�1���������ʤ��������ʤ����

$$f(a+h,b+k)= c_{00} + c_{10} h + c_{01} k + o(\vert\vert(h,k)\vert\vert)$$

�ʤ�¿� $c_{00},\dots, c_{01}$ ����ʤ����� �Ǥ��뤳�Ȥʤ�о�;�����ʬɽ������Ƥߤ뤳�ȡ�