���ϳ� IA No.5����

�Թ����ؿ�����ʬ��Ϣ��Χ��

(��)��ʬ��ְ켡����פȤ��ƤȤ館��ȡ� �����ؿ�����ʬ�����Ѥ䤵������

���� 5.1   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^l$ ����� $U$ ���� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ �ؤμ��� $f$ �ȡ�$f(U)$ ����ʬ����Ȥ��� �ޤ೫���� $V$ ���� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ �ؤμ��� $g$ ��Ϳ�����Ƥ����Ȥ��롣 ���ΤȤ����⤷ $f$ ���� $a\in U$ ������ʬ��ǽ�ǡ� �ʤ����� $g$ ���� $b=f(a)$ ������ʬ��ǽ�ʤ�С� �����ؿ� $g\circ f$ �� $a$ ������ʬ��ǽ�Ǥ��äơ�

$$D(g\circ f)_a= (D g)_{f(a)}\cdot (D f) _a$$

(``$\cdot$ " �Ϲ������)������Ω�ġ�

����. $(D f)_a=L$ , $(D g)_{b}=M$ �Ƚ񤯤ȡ�

$$f(a+v)=f(a)+L v + o(\vert\vert v\vert\vert)\quad (=b+L v +o(\vert\vert v\vert\vert))$$

$$g(b+w)=g(b)+M w + o(\vert\vert w\vert\vert).$$

���Τ��Ȥ��顢

$$g(f(a+v))=g(b+ L v +o(\vert\vert v\vert\vert))$$

$$= g(b)+ M\cdot (L v + o(\vert\vert v\vert\vert)) + o(\vert\vert L v + o(\vert\vert v\vert\vert)\vert\vert)$$

$$= g(f(a))+ M\cdot L v + o(\vert\vert v\vert\vert))$$

���狼�롣 $\qedsymbol$

����ʬ�ι�����ʬ������ʬ�����Ǥ��ä����Ȥ�פ��Ф��ȡ� ���ηϤ������롣

�� 5.2 (``����4.6, ����4.7'')   ��������ξ����β��ǡ� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^l,$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m,$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ �κ�ɸ�Ϥ� ���줾�� $(x_1,x_2,\dots,x_l)$ , $(y_1,y_2,\dots,y_m)$ , $(z_1,z_2,\dots,z_n)$ �Ȥ��ơ�$f,g$ ����ʬ��ɽ������ȡ�

$$\left.\frac{\partial (g\circ f)_i} {\partial x_k}\right \vert _{x... ... \vert _{y=f(b)} \left. \frac{\partial f_ j} {\partial x_k}\right\vert _{x=a}$$

�� 5.1  

$$f: \mbox{${\mathbb{R}}$} ^2 \ni (u,v) \mapsto (u, u+v^3) \in \mbox{${\mathbb{R}}$} ^2$$

$$g: \mbox{${\mathbb{R}}$} ^2 \ni (x,y) \mapsto x^3 y \in \mbox{${\mathbb{R}}$}$$

��ͤ���ȡ�

$$(Df)_{(a,b)}= \left . \begin{pmatrix}1 &1 0 & 3 v^2 \end{pmatrix} \right \vert _{(u,v)=(a,b)} = \begin{pmatrix}1 &0 1 & 3 b^2 \end{pmatrix}$$

$$(Dg)_{(x_0,y_0)}= \left . \begin{pmatrix}3 x^2 y & x^3 \end{pmatr... ...ight \vert _{(x,y)=(x_0,y_0)} =\begin{pmatrix}3 x_0^2 y_0 & x_0^3 \end{pmatrix}$$

�Ȥ��ˡ�

$$(Dg)_{f(a,b)}= =\begin{pmatrix}3 a^2 (a+b^3) & a^3 \end{pmatrix}$$

�Ȥ��ˡ�

¾���ǡ�

$$(g\circ f)(u,v)=u^3 (u+v^3)$$

�Ǥ��뤫�顢

$$(D(g\circ f))_{(a,b)}= \begin{pmatrix} 4 a^3 +3 a^3 b^3& 3 a^3 b^2 \end{pmatrix}$$

�Ǥ��äơ���ñ�ʹ��󻻤ˤ�ꡢ���ξ����������ºݤ����������Ȥ� �Τ�����롣

�ѿ��ο� $l,m,n$ ���Ѥ��ơ���ηϤ򤤤������񤭴����Ƥߤ���ɤ��� ``Ϣ��Χ''�δ������Ϥ���������Ϣ��Χ�ϡ��ѿ��Ѵ���ͤ���ݤ��ä˽��פˤʤ롣

��� 5.1   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^l$ ����� $U$ ���� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ �ؤμ��� $f$ �� ����ʬ����

$$\frac{\partial f}{ \partial x_j}\vert _{x=a}$$

�� $a$ �δؿ��Ȥߤ���Τ�$f$ �� $x_j$ �Ǥ� ��Ƴ�ؿ��Ȥ�֡�

�������Ǥϡ�$f$ �Ȥ��Ƥϥ٥��ȥ��ͤ�����Ƶ��Ҥ����� ��������Ǥ� $f$ ��٥��ȥ�Τޤޤǰ��äƤ��ɤ��ΤǤ��뤬�� ��������ʬ�ǽ񤤤Ƥ������Ȥˤ��롣

��� 5.2   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^l$ ����� $U$ ���� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ �ؤμ��� $f$ �� $U$ �ˤ����� $C^1$ -��Ǥ���Ȥ�, $f$ �����Ƥ���ʬ�����Ƥ���Ƴ�ؿ�

$$% latex2html id marker 1177\left\{ \frac{\partial f_i}{ \par... ...ligned} &i=1,2,\dots,m\\ & j=1,2,\dots,l \end{aligned}\right \}$$

��¸�ߤ��ơ������� $a\in U$ �ˤĤ���Ϣ³�Ǥ���Ȥ��ˤ�����

�������ϡ��Τ���䤹����������ʬ���Ѥ��Ƥ���Τ� ���Фä��״����Ǥ��롣

���� 5.3   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^l$ ����� $U$ ���� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ �ؤμ��� $f$ �ˤĤ��ơ� ����Ʊ�ͤǤ��롣

1. $f$ �Ͼ������ΰ�̣�� $C^1$ ��Ǥ��롣
2. $f$ �� $U$ �γ�������ʬ��ǽ�ǡ� ��������ʬ $Df\vert _{x=a}$ �� $a$ �ˤĤ���($U$ ��� $M_{m,l}($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ -�ʹؿ��Ȥ���) Ϣ³�Ǥ��롣

�����ˤϼ��������(Ϣ³����)�Ѥ�����ɤ���

���� 5.1   �����β���β��ǡ� $x\in U$ ���� $B_r(x)\subset U$ �Ȥ��롣 $f$ �� $U$ �� $C^1$ ��ʤ�С�

$$f(x+h_1 e_1 )=f(x)+h_1 \int_0^1 \frac{\partial f(x+ t_1 h_1 e_1)}{\partial x_1} d t_1 \qquad ( h_1\in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$, \vert h_1\vert<r )$$

���ʤꤿ�ġ������ˡ� $e_1=(1,0,0,\dots,0)$ �ϴ��ܥ٥��ȥ�Ǥ��롣 (Ʊ�ͤ�ɽ����¾�μ������ˤĤ��Ƥ�����Ω�ġ�)

���åȡ�����������ɬ�פˤʤ롣�����ϰ���������ιֵ��򻲾ȤΤ���

���� 5.4   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ �� ����ѥ��Ƚ��� $K$ ��� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ -��Ϣ³�ؿ� $f$ �ϰ���Ϣ³�Ǥ��롣 ���ʤ����

$$\forall \epsilon >0 \exists \delta >0 \forall x,\forall y \in K (d(x,y) <\delta \implies d(f(x),f(y))<\epsilon)$$

����ݡ�������

(���¡����ιֵ��ν�λ���ޤǡ�)

���� 5.1   $f(x,y,z)=z\sin(x y)$ �� $x,y,z$ �˴ؤ�����Ƴ�ؿ��ò¤½¤ì¤¾ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½è¡£