���ϳ� IA No.4����

������ʬ������ʬ��

¿�ѿ��ؿ����顢��¾���ѿ���ߤ�ư�Ĥ������ѿ������ܤ���פ��Ȥˤ�ꡢ ���ѿ��ؿ������뤳�Ȥ��Ǥ��롣���ΰ�̣��¿�ѿ��ؿ��Ϥ�����ʬ�ˤĤ��ơ� �������٤��ΤäƤ��뤳�Ȥˤʤ롣

��� 4.1 (``4.2.1'')   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ ����� $U$ ���� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �ؤμ���(�ؿ�) $f$ �� �� $P=(a_1,a_2,\dots, a_n)\in U$ ���ѿ� $x_j$ �ˤĤ��� ����ʬ��ǽ�Ǥ���Ȥϡ� $x_j$ �ʳ����ѿ���ߤ�ơ����ѿ��ؿ�

$$x_j\mapsto f(a_1,a_2,\dots,a_{j-1},x_j,a_{j+1},a_{j+2},\dots, a_n)$$

��ͤ����Ȥ��ˡ����줬 $x_j=a_j$ ����ʬ��ǽ�ΤȤ��˸����� ������ʬ�����Τ��Ȥ�

$$\frac{\partial f}{\partial x_j} (a_1,\dots,a_n)$$    �Ȥ� $$\frac{\partial f}{\partial x_j} (P)$$    �Ȥ� $$f_{x_j}(P)$$

�ʤɤȽ񤯡�

���� 4.1   �������β���β��ˡ�$f$ �� $P$ ���ѿ� $x_j$ �ˤĤ��� ����ʬ��ǽ�Ǥ��뤳�Ȥϡ����� $c\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �����äơ�

$$f(a_1,a_2,\dots,a_{j-1},a_j+h,a_{j+1},a_{j+2},\dots, a_n)$$

$$= f(a_1,a_2,\dots,a_{j-1},a_j,a_{j+1},a_{j+2},\dots, a_n) +c h +o(\vert h\vert)$$

������Ω�Ĥ��Ȥ�Ʊ�ͤǤ��롣

����ʬ�����ϡ��ְ�Ĥ��ѿ������򾯤�����ư�����Ȥɤ��ʤ뤫�פˤĤ��Ƹ�äƤ���� ���Ǥ��롣�ǤϤ����������ѿ��򤽤줾�쾯������ư�����Ȥɤ��ʤ��������?

��� 4.2   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ ����� $U$ ���� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �ؤμ���(�ؿ�) $f$ �� �� $P=(a_1,a_2,\dots, a_n)\in U$ �� ����ʬ��ǽ�Ǥ���Ȥϡ� ���� $(c_1,c_2,\dots, c_n)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ �����äơ�

$$f(a_1+h_1 ,a_2+h_2, a_3+h_3,\dots,a_{n}+h_n)$$

$$= f(a_1,a_2,a_3\dots,a_{n})$$

$$+ c_1 h_1+c_2 h_2 + c_3 h_3 + \dots + c_n h_n$$

$$+ o(\vert\vert(h_1,h_2,\dots,h_n)\vert\vert)$$

������Ω�ĤȤ��ˤ��������ξ��������Ū�˵��Ҥ��뤿���

$$df\vert _a=c_1 d x_1+ c_2 d x_2 + \dots c_n d x_n$$

�Ƚ񤤤ơ�$f$ �� $P$ �Ǥ�����ʬ�Ȥ�֡�

�� 4.1   $f(x,y)=x^3 y^2$ �� $(1,2)$ �Ǥ���ʬ����褦�� $x=1+\Delta x , y=2+\Delta y$ �Ƚñ¤¤¤Æ¡ï¿½$f(x,y)$ �� $\Delta x, \Delta y$ �� ��ɽ����

$$f(x,y) =(1+\Delta x )^3 (2+\Delta y)^2$$

$$= (1+3 \Delta x)(4+4 \Delta y)+ \Delta x, \Delta y$$

$$= 4+ 12 \Delta x+4 \Delta y+ \Delta x, \Delta y$$

�椨�ˡ�

$$d f\vert _{(1,2)}= 12 d x + 4 d y$$

����������ǡ�$d x$ �� $\Delta x$ �ϡ�$d$ �� $\Delta$ �� $x$ �Ȥ� �ѤȤ�����̣�Ǥ��ʤ������켫�Ȥǰ�Ĥ��ѿ����Ȼפä�ĺ��������

¿�ѿ�����ʬ�ϥ٥��ȥ�ȹ���ε�ˡ��Ȥä��ۤ������ä��ꤹ�롣 �ʲ��Ǥ� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ �� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ �θ��� (���̤��Թ�Dz��˽񤤤Ƥ�����⤢�뤬������Ū�ˤ�����) �ֽĥ٥��ȥ�פ��Ȼפä�ĺ��������

��� 4.3   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ ����� $U$ ���� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ �ؤμ��� $f$ �� �� $a\in U$ �� ����ʬ��ǽ�Ǥ���Ȥϡ� ���� $L \in M_{m,n}($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ �����äơ�

$$f(a +h) =f(a)+ L h + o(\vert\vert h\vert\vert) \qquad (\vert\vert h\vert\vert:$$ ��ʬ�� �ʤ� $$h\in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^n$$    �ˤĤ���$$)$$

������Ω�ĤȤ��ˤ�����$L$ �Τ��Ȥ� $f$ �� $a$ �Ǥ�(��)��ʬ�Ȥ����� $Df\vert _a$ �Ƚ񤯡�

�� 4.2   ���� $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2 \ni (x,y) \to (x^2, x^3+y^3) \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ �� $(1,1)$ �ˤ����� ����ʬ����褦�� $x=1+\Delta x, y=1+\Delta y$ �Ƚñ¤¯¤ï¿½,

$$f \begin{pmatrix}x y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}(1+\Delta x)^2 (1+(\Delta x)^3+(1+\Delta y)^3 ... ...\begin{pmatrix}\Delta x \Delta y \end{pmatrix} \right\vert\right\vert \right)$$

$$= \begin{pmatrix}1 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2 & 0 3 &... ...\begin{pmatrix}\Delta x \Delta y \end{pmatrix} \right\vert\right\vert \right)$$

�椨��

$$Df\vert _{(1,1)}= \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 3 & 3 \end{pmatrix}.$$

����ʬ�ϡ�$f$ �ΰ켡�����Ϳ���롣����ʬ�� $x$ ������������ $a$ �˶�Ť��Ȥ��� $f(x)$ �ε�ư��Ϳ���Ƥ��뤫�顢����ʬ��ʬ���äƤ���� ����ʬ�ϼ�ưŪ������ʬ����׻��Ǥ��뤳�Ȥˤʤ롣

���� 4.1 (``���� 4.4'')   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ ����� $U$ ���� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ �ؤμ��� $f$ �� $a\in U$ �� ����ʬ��ǽ�Ǥ���Ȥ��롣���ΤȤ���

1. $f$ �� $a$ ��Ϣ³�Ǥ��롣

2. $$D f_{a}= \begin{pmatrix} \frac{\partial f_i} {\partial x_j} (a) \... ... {\partial x_3} (a) \dots &\frac{\partial f_n} {\partial x_n} (a) \end{pmatrix}$$

���Ѿ�ϡ�����ʬ�Υǡ������Ѥ�������ʬ�ι�����ʬ������Ȥ������� ����������Ȥ��뤳�Ȥ�¿����

����ݡ�������

(���¡����ιֵ��ν�λ���ޤǡ�)

���� 4.1   �� 4.2 �Τ褦�ˤ��ơ� ����

$$f:$$$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^3 \ni (x,y,z) \mapsto (x^2 z , x^3 z +y^3 z^2+5 ) \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^2$$

�� $(1,1,5)$ �Ǥ�����ʬ����ʤ�����