���ϳ� IA No.1����

��¿�ѿ��ؿ���

�ֵܹ��Ǥ�¿�ѿ��δؿ��ΰ��������Ȥ��˶˸¤���ʬ�ˤĤ��ƹֽҤ��롣 ���ʽ�ˤ����ѿ��ؿ����濴�˽񤫤�Ƥ��뤬���ͤ������ѿ��������Ƥ�Ʊ���Ǥ��롣

��� 1.1   ���̤�, �������� $n$ ���Ф��ơ�

   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^n=\{(a_1,a_2,\dots,a_n); a_1,a_2,\dots, a_n\in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$\}$$

��(��) $n$ �������֤ȸƤ֡�(2�������֤Τ��Ȥ�ʿ�̡� 3�������֤Τ��Ȥ�ñ�˶��֤ȸƤ֡�) $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ �θ���(�Ƥ��ߤ򤳤��) ���Ȥ�֡�

�⼡���ζ��֤ˤĤ��ơ�������Ū���Ȼפ��ͤ⤤�뤫���Τ�ʤ����� �����ǤϤʤ����������ѿ��ζ��֤Ȥ�������ʰ�̣����ġ� �ѿ���¿����Ĵؿ��ʤɤȤ����ΤϤ�����Ǥ�в񤦤�������

��� 1.2   $n$ ���ĸ��ꤹ�롣���ΤȤ���

1. ���� $P=(a_1,a_2,\dots, a_n), Q=(b_1,b_2,\dots,b_n)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ �ˤ������ơ� �������� $d(P,Q)=\sqrt{\sum_{j=1}^n (a_j-b_j)^2 }$ ��������롣
2. $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ ���� $P=(a_1,a_2,\dots,a_n)$ ���濴�Ȥ���Ⱦ�� $r \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{>0}$ �� ���� �Ȥϡ�
   $$B_r(P)=\{ x \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^n; d(x,a)<r\}$$
   �Τ��Ȥ򤤤���$n=1$ , $n=2$ �ΤȤ��γ���Τ��Ȥ򤽤줾�쳫���, �����ĤȤ⤤����

���̤ˡ� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ ���ΤǴؿ����������Ƥ��뤳�ȤϾ��ʤ��� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ ����ʬ���� $X$ �Τߤ����������礬�ۤȤ�ɤǤ��롣 �Ȥ������˸¡���ʬ����������ˤϡ��ͤ��Ƥ��뽸�� $X$ �� �֥ϥ��å��פǤ��ä���䤳������礬���롣 �����ǡ��ϥ��å����ʤ�����ˤ����̤�̾����Ĥ��ơ������ ���Ѥ���ΤǤ��롣

̿�� 1.1   $d$ �ϵ�Υ�θ�����ߤ��������ʤ����

1. $d(P,Q)\geq 0$ �Ǥ��ꡢ $d(P,Q)=0 {\Leftrightarrow} P=Q$ .
2. $d(P,Q)=d(Q,P)$ .
3. Ǥ�դ� $P,Q,R\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ �ˤ������ơ�
   $$d(P,Q)+d(Q,R)\geq d(P,R)$$
   ������Ω�ġ�(����������)

���̿��ξ����ˤ����Ѥγ�ǰ���Ѥ���Τ������Ǥ��롣

���� 1.1   $u,v\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ �ˤ������ơ� ���������Ѥ� $\langle u,v \rangle=\sum_j u_j v_j$ ��������롣 ���ΤȤ���

1. $\langle u,v \rangle$ �� $u,v$ �ˤĤ����������Ǥ��롣
2. $\langle u,u\rangle$ ������μ¿��Ǥ��롣����ʿ������ $\vert\vert u\vert\vert$ �Ƚ񤯡�
3. $\vert\langle u,v \rangle \vert \leq \vert\vert u\vert\vert\cdot \vert\vert v\vert\vert$ , $\vert\vert u+v\vert\vert \leq \vert\vert u\vert\vert+ \vert\vert v\vert\vert$ .
4. $d(P,Q)=\vert\vert P-Q\vert\vert$ .

��� 1.3   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ ����ʬ���� $U$ �� �������Ǥ���Ȥ� $U$ ��Ǥ�դ��� $P\in U$ �ˤ������ơ� �������μ¿� $r$ ��¸�ߤ��ơ� $B_r(x)\subset U$ �Ǥ���Ȥ��ˤ�������Ԥǽñ¤¯¤ï¿½:

$$U:$$open$${\Leftrightarrow}\ ( \forall x \in U \exists r\in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$_{>0} (B_r(x)\subset U)).$$

�ޤ���� $\forall$ �� $\exists$ ���ǤƤ��������ιֵ��Ǥ�����ˤʤ�Τ� �Ȥ�����ޥ���������ĺ���������Ȥ��ˡ�$x$ �� $r$ ���о�ν��֤򵤤ˤ��� �ߤ�����

��� 1.4   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ ������ $\{P_j ; j=1,2,3,\dots\}$ ���� $Q$ ����«�����Ȥϡ�

$$\lim_{j\to 0}d(P,Q_j)=0$$

�ΤȤ��ˤ�����$\{P_j\}$ �� $Q$ �˼�«����Ȥ���

$$P_j\to Q \quad (j\to \infty)$$

�Ȥ��� $\lim_{j\to \infty} P_j=Q$ �Ƚ񤯡�

�Ĥޤ�����ζ˸¤��(��Υ)�ζ˸¤˵��夵���Ƥ���ΤǤ��롣 ���ζ˸¤� $\epsilon$ -$N$ ˡ���Ѥ����������뤳�Ȥ�פ��Ф��Ƥ������ȡ�

���� 1.2   ����μ�«�ϡ����γ���ʬ����«���뤳�Ȥ�Ʊ�ͤǤ��롣

��� 1.5   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ ����ʬ���� $K$ ���Ľ����Ǥ���Ȥϡ���$K$ ��°����������ʤ� ���� $\{P_j\}_{j=1}^\infty$ �� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ ���� $P$ �˼�«����ʤ顢 ɬ�� $P$ �� $K$ ��°����פȤ��˸�����

��� 1.6   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ ����ʬ���� $D$ �� �ΰ� �Ǥ���Ȥϡ� $D$ ���Ǥ�դ����� $P,Q$ �� $D$ ����ޤ����Ƿ�٤�Ȥ��˸�����

��� 1.7   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ ����ʬ���� $S$ �� ͭ�� �Ǥ���Ȥϡ� ���� $P\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ �� �������μ¿� $R$ �����äơ� $S$ �� $B_R(P)$ �Τʤ��ˤ��äݤ�� ��ʬ����Ȥ��ƴޤޤ�Ƥ��ޤ��Ȥ��˸�����

���� 1.3   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ ����ʬ���� $S$ ���Ф��ơ����������Ʊ�ͤǤ��롣

1. $S$ ���Ľ���Ǥ��롣
2. $S$ �� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ �Ǥ��佸�� $\complement S$ �ϳ�����Ǥ��롣

�� 1.1   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ �ˤ����ơ�

1. $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ ���Τϳ�����Ǥ��ꡢ�Ľ���Ǥ⤢�롣
2. ����ϳ�����Ǥ��뤬���Ľ���ǤϤʤ���
3. $P\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ �� $r>0$ �Ȥˤ������ơ��ĵ�
   $$\overline{B_r}(P)=\{Q\in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^n; d(P,Q)\leq r\}$$
   ���Ľ���Ǥ��뤬��������ǤϤʤ���

�� 1.2  

1. Ⱦ����� $(0,1]$ �� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �γ�����Ǥ⡢�Ľ���Ǥ�ʤ���
2. $[0,1]\times (0,1)$ �� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ �γ�����Ǥ⡢�Ľ���Ǥ�ʤ���

������Τ褦�ˡ��ֳ�����ס��Ľ���פ� �֤ɤν���Τʤ��ǹͤ��뤫�פ����ڤǤ���

�� 1.3   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ �� ``x��" $(\{(x,0); x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\})$ �� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ��Ʊ��뤹�롣���ΤȤ� $(0,1)$ �� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �γ�����Ǥ��뤬�� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ �γ�����ǤϤʤ���

��� 1.8   ����(�ؿ�) $f:X\to Y$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��� $X$ �Τ��Ȥ� $f$ �������(�⤷���ϻϽ���), $Y$ �Τ��Ȥ� $f$ �������� $f(X)$ �Τ��Ȥ� $f$ ���Ͱ��Ȥ�֤ΤǤ��ä��� $X\times Y$ �� ��ʬ����

$$\Gamma_f=\{(x,f(x))\vert x\in X\}$$

�Τ��Ȥ� $f$ ��������Ȥ�֡�

����ݡ�������

(���¡����ιֵ��ν�λ���ޤǡ�)

���� 1.1   ʿ�� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ ����ʬ���� $\{(0,0)\}$ (��������ʤ뽸��)�� ������ǤϤʤ����Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½