��ʬ��ʬ�س���AI�����

���� 15.1  

$$f(x)= \frac{5 e^{ 2 x}+3 x^2}{7 e^{2 x}+2 e^x}$$

�ˤ������ơ� �˸�

$$\alpha=\lim_{x\to \infty} f(x)$$

��.�ͤ�������

1. $\alpha$ ���ͤ���ʤ�����(���ΤߤǤ褤��)

2. $$f(x)-\alpha = \frac{B e^{-x} + C x^2 e^{-2 x }}{49+A e^{-x} }$$
   ����������� $A,B,C$ ����ʤ�����
3. Ŭ�������ο� $K$ ��Ȥ�ȡ� $\dfrac{x^2}{e^x}$ �� $x>K$ ���ϰϤ�ͭ���Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ����� (ʬ����ˤ������ˤϡ� ��$x>10$ �ʤ�� $\dfrac{x^2}{e^x}<100$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ������� �Ȥ��������ɤߤ����Ʋ򤤤Ƥ��ɤ���)
4. ���μ¿� $\epsilon$ ���Ф��ơ�
   $$x>M\implies \vert f(x)-\alpha\vert<\epsilon$$
   ���������¿� $M$ ���ĵ��ʤ����� (�ܾ���Ǥ���ͳ�򤭤���Ƚ񤯤��Ȥ�������Ǥ��롣)

��̤ˤĤ��Ƥ������������6F ���طǼ��ĤǹԤʤ����������ν�����3������콵������ ������ͽ�ꡣ�Ǽ��ޤǤ� ���ӤˤĤ��Ƥμ���ˤϰ��ڱ������ʤ���

�����:

(1) $\alpha=\dfrac{5}{7}$ .

(2)

$$f(x)-\alpha= \frac{-10 e^{-x}+21 x^2 e^{-2 x}}{49 + 14 e^{-x}}$$

���ʤ���� $A=14,B=-10,C=21$ �Ǥ��롣

(3) �ޤ�ʬ��θ��Ѥ��򤷤褦�� �¿� $x$ �ˤ������ơ�����������ʬ $\lfloor x \rfloor$ �Τ��Ȥ� $n$ �Ƚ񤯤ȡ�$x>4$ �ΤȤ�

$$n-1 =\lfloor x \rfloor-1\geq (x-1)-1=x-2 \geq \frac{x}{2}$$

�����դ���ȡ� $x>4$ �ΤȤ���

$$e^x \geq 2^x \geq {2^{\lfloor x\rfloor}} = {2^n}$$

$$\geq {\binom {n}{2}} = \frac{n(n-1)}{2!} \geq \frac{(x/2)^2}{2!} =\frac{x^2}{8}$$

���ʤꤿ�Ĥ��Ȥ�ʬ���롣

�����ǡ�Ʊ���ϰϡ����ʤ�� $x>6$ ��

$$\vert\frac{x^2}{e^x}\vert =\frac{x^2}{e^x} \leq \frac{x^2}{x^2/8} \leq 8$$

�Ǥ��뤳�Ȥ��狼�롣���ʤ�� $\{x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$; x>4\}$ �� $\dfrac{x^2}{e^{ x}}$ �� ͭ���Ǥ��롣

(4)

$$M=\max(6,\dfrac{32}{\epsilon})$$

�Ȥ����Ȥ褤���ºݡ�Ǥ�դ� $x>M$ �ˤ������ơ�

$$\vert f(x)-\alpha\vert = \frac{\vert-10 e^{-x}+21 x^2 e^{-2 x}\vert}{\vert 49 + 14 e^{-x}\vert}$$

$$\leq \frac{\vert 10 e^{-x}\vert+\vert 21x^2 e^{-2 x}\vert}{\vert 49 + 14 e^{-x}\vert}$$

$$= \frac{10 e^{-x}+ 21x^2 e^{-2 x}}{49 +... ...q \frac{10 e^{-x}+ 21x^2 e^{-2 x}}{49 } = \frac{10 + 21x^2 e^{- x}}{49 } e^{-x}$$

$$\leq \frac{10 + 21\cdot 8}{49 } e^{-x}$$

$$< 4 e^{-x}$$

$$< \frac{4\cdot 8 }{x^2}$$

$$< \frac{32}{x}< \epsilon$$