��ʬ��ʬ�س���AI���� No.14

����ϡ��������ΰ�̣�⤳��ơ���ݡ���12 �β�����Ҥ٤�ȤȤ�ˡ� ������ζ˸¤ΰ����ˤĤ��ƾ�����­���뤳�Ȥˤ��롣

��ݡ���12 �ϡ� $x\to \infty$ �ΤȤ�������Ǥ��뤬�� ����� $x\to 0$ �ζ˸¤˺�꤫��������С��ѿ����Ѵ����Ƥ��Ȥ���

$$\lim_{x\to 0} \frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^6}$$

����������ͤ�����ɤ���

��äȰ��̤ˡ�

$$\lim_{x\to 0} \frac {e^{-\frac{1}{x^2}} +x^3 e^{-\frac{1}{2 x^4}}} {5 e^{-\frac{1}{x^2}} + 7 e^{-\frac{1}{x^4}} +8 e^{-\frac{2}{x^2}} }$$

�ʤɤζ˸¤η׻��⡢�ɤιब�礭���ʤ뤫�������Ĥ��Ƥ���С� ���ѳڤ˷׻��Ǥ��롣

(����ϥ�ݡ��ȤϤ���ޤ���)

�轵�ϻ�Ǥ���

��������:¾�οͤμ���ˤʤ�ʤ���Ρ��̿���ǽ������ʤ���Τʤ�С� ���Ǥ�ġ�

��ˤǤ���������:

����ζ˸¤Ϥ��������������(����: $\dfrac{1}{5}$ .)

��

$$f(x)= \frac {e^{-\frac{1}{x^2}} +x^3 e^{-\frac{1}{2 x^4}}} {5 e^{-\frac{1}{x^2}} + 7 e^{-\frac{1}{x^4}} +8 e^{-\frac{2}{x^2}} }$$

�Ȥ������Ȥ���$f(x)$ �� $\dfrac{1}{5}$ �Ȥκ���Ϳ����줿 $\epsilon(>0)$ ��꾮�����ʤ�褦�˼����ˤϡ�$x$ ���ϰϤ�ɤ����� 0 �� �᤯�Ȥ���ɤ����������� �Ĥޤꡢ

$$0<\vert x\vert<\delta \implies \vert f(x)-\frac{1}{5}\vert<\epsilon$$

��ߤ����褦�ˤ���ˤϡ� $\delta$ �Ȥ��ƤɤΤ褦���ͤ� ���٤Ф褤����������

�����¤�᤮����ݡ��Ȥϡ��������������������ͳ���ʤ��¤� �������ޤ���ΤǤ������餺��λ��������������

����12.1 ������

�����ˤ��Ĥ����ˡ�������������Ƥ������� �¿� $x$ �ˤ������ơ�$x$ ����礭��������¸�ߤ��롣 (���륭��ǥ��θ�����)���ΰ�Ĥ� $x_1$ �Ȥ��褦�� �ޤ���$x$ �ʲ���������¸�ߤ��뤳�Ȥ�($-x$ ���Ф��ƥ��륭��ǥ��θ��� ��Ŭ�Ѥ��뤳�Ȥˤ��)ʬ���롣���ΰ�Ĥ� $x_0$ �Ȥ��褦�� ����ȡ�$x$ �ʲ��������Τ��� $x_0$ �ʾ�Τ�Τ�

$$x_0,x_0+1,x_0+2,\dots, x_1$$

�Ȥ���ͭ�¸Ĥ������Υꥹ�ȤΤʤ��˴ޤޤ�Ƥ��ꡢ�Ȥ��� $x$ �ʲ��������Τ�������Τ�Τ����Υꥹ�Ȥ����¸�ߤ��롣 �����

$$\lfloor x \rfloor$$

�Ƚ񤯡�����������С� $\lfloor x \rfloor$ ��

$$\lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor +1$$ (��)

�������������Ǥ��롣 �������Ϥ���� $[x]$ �ǽ񤤤ơ֥������ε���פȸƤ�Ǥ������� �Ả���ʡ� $\lfloor x \rfloor$ ����̱�������ĤĤ���褦�Ǥ��롣

������Ϥ�褦���ޤ���

$$(1.1)^4=1.4641$$

�ˤ�ꡢ $(1.1)^4<2<e$ �Ǥ��뤳�Ȥ����դ��롣 ���ơ�Ǥ�դ� $\epsilon>0$ �ˤ������ơ� $M=10000/\epsilon$ �ȤȤ�ȡ� $x>M$ �ʤ�Ǥ�դ� $x$ ���Ф��ơ�

$$\frac{x^3}{e^x} \leq \frac{x^3}{(1.1)^{4x}} = \frac{x^3}{((1.1)^{x})^4}$$

$$\leq \frac{x^3}{((1.1)^{\lfloor x \rfloor})^4}$$

$$\leq \frac{x^3}{(1+0.1 \lfloor x \rfloor)^4}$$

$$\leq \frac{x^3}{(0.1 x )^4}$$

$$= \frac{10000}{x} < \epsilon$$

�����ϰϤ� $x$ ���Ф��ƤϤ������ $\frac{x^3}{e^x}>0$ �Ǥ��뤫�顢

$$\vert\frac{x^3}{e^x}-0\vert< \epsilon$$

���ʤꤿ�Ĥ��Ȥ�ʬ���ä���

���� ������������ζ˸¤�����Ǥ��롣

$$\lim_{x\to \infty} \frac{x^3}{e^x} =\frac{\lim_{x\to\infty} x^3}{ \lim_{x\to \infty} e^x}=\frac{\infty}{\infty}$$

$$\lim_{x\to \infty} \frac{x^3}{e^x} =\lim_{x\to \infty} \frac{x}{e^x}\lim_{x\to \infty}x^2 =0 \cdot \infty$$

�ʤɤȤ�äƤ⡢�˸¤ϵ�ޤ�ʤ��� ��$\infty$ �� �ϡ���$x$ ���礭���ʤä��Ȥ����ˤ�����Ǥ��礭���ʤ�פȤ��� ���ݤ򤢤�路�Ƥ��������ǡ����ǤϤʤ�����Ǥ��롣 ��äȤ����С��ֶ˸¡פȤ�����ǰ���Τ�(���Τˤ� $\epsilon$ -$\delta$ ��ˡ�� �Ҥ٤���褦��)��Ĥθ��ݤε��Ҥ��Ȥ�����롣

�Ǥ�������ζ˸¤ϤɤΤ褦�˰������ɤ����ȸ����С���������Ǹ����� $e^x$ �� $x^3$ �Ȥ��礭���ʤ꤫���ζ�����ѻ����뤳�Ȥˤʤ롣 �ֵ��Ǥ⾯���Ҥ٤��褦�ˡ����ζ���ϥϥå���֥����פ��Ĥ��Ƥ��ơ� ���ʤ깵���ܤ˸��Ѥ�äƤ� $e^x$ ���������롣�嵭�����Ϥ��Τ褦�ʸ��Ѥ��� ����ˡ�Ǥ��롣

���������һؿ��������Ǥʤ����ˤ��Ѥ��Ƥ��������¿���ä����� ��̩�ˤ��ֵܹ��Ǥ϶һؿ������������ξ�礷�����äƤ��ʤ��� �������äƾ嵭�����Τ褦�˾������פ�ɬ�פǤ��롣