��ʬ��ʬ�س���AI���� No.13

���Ѵؿ��� ����Ū�˸�̩��������뤿��ˤϡ��⤦�������������פ��롣 ����Ū�ˤϡ����١���ʬ��Ĺ�������Ѥζ���Ū������䡢�٤������ ��갷�����Ǥ��롣 �����������δؿ��������Τ�ʤ��Ǥ�������ؤʤΤǡ� �������ٸ�̩�������ˤ��ưʲ��Ǥϳ�ά��Ҥ٤롣 �⹻�ޤǤˤʤ�ä����Ȥ�פ��Ф��Ƥ����Ȥ褤��

��� 13.1   $x$ -$y$ ʿ�̤�ñ�̱� $C:x^2+y^2=1$ ��ͤ��롣 $x$ ����������ʬ�ȳ��� $\theta$ �����ʤ��Ⱦľ�� $\ell$ �� $C$ �Ȥθ��� $P$ �� $x$ ��ɸ�� $\cos(x)$ , $y$ ��ɸ�� $\sin(x)$ �� �ñ¤¯¡ï¿½

������: ���٤�(�Ȥ����Ǥ�ʤ��¤�)��˸���ˡ���Ѥ��롣

������顢���μ����ʤꤿ�ġ�

$$(\sin(x))^2+(\cos(x))^2=1.$$

���� 13.2  

$$\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x}=1$$

(���Ѵؿ�����ʬ�δ��ܤˤʤ뼰)

���Ѵؿ����ؿ��ؿ����п��ؿ�����ʬ�ϡ����󤪤�Ӻ���Ρִ��ܤˤʤ뼰�פ� ���Τ褦�ʲ�ˡ����(��ˡ����)�������Ʒ׻�����롣

���� 13.3   Ǥ�դμ¿� $x,y$ �ˤĤ��Ƽ��μ����ʤꤿ�ġ�

1. $e^{x+y}=e^x e^y.$
2. $\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)$
3. $\cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)$

�ޤ���Ǥ�դ����μ¿� $x,y$ �ˤ�������

$$\log(x y)=\log(x)+\log(y)$$

���ʤꤿ�ġ�

���� 13.1  

$$\lim_{x\to 0} \cos(x)=1$$

��(�Ǥ���к���ν������� $\epsilon$ -$\delta$ ��ˡ��)�������ʤ����� �������� $\vert x\vert < \frac{\pi}{2}$ �ʤ�� $\cos(x)>0$ �Ǥ��뤳�Ȥ� ��ͳ���Ѥ����ɤ����Ȥˤ��롣

����11.1 ������

Ǥ�դ� $\epsilon>0$ �ˤ������ơ� $1/\epsilon$ ����礭������ $N$ ��ȤäƤ��롣 (���륭��ǥ��θ����ˤ�ꡢ���Τ褦��������¸�ߤ��롣) $n>N$ �ʤ�Ǥ�դ� $n$ �ˤ������ơ�

$$(1+\epsilon)^n\geq (1+n \epsilon) > 1+ N \epsilon>1+1 =2.$$

$\sqrt[n]{\bullet}$ ��ñĴ���ˤ�ꡢ�����ϰϤ� $n$ �ˤ������ơ�

$$1+ \epsilon >\sqrt[n]{2} >\sqrt[n]{1}=1$$

��äơ�($n>N$ �ʤ� $n$ �ˤ�������) $\vert\sqrt[n]{2}-1\vert \leq \epsilon$ �Ǥ��롣

���� $\{a_n\}$ �κǽ�ο����ºݤ˾����ǿ��ͷ׻����Ƥ������Ƥ⸫������줿�� ���Τ褦�ʻ�ߤ�����ͭ�յ��Ǥ���Ȼפ�������ԥ塼���ο����������եȤ� �׻����Ƥߤ�ȡ��ǽ��5��ϼ��Τ褦�ˤʤ롣

$$a_1=2, \quad a_2=1.4142.., \quad a_3=1.2599..,\quad a_4=1.1892..,\quad a_5=1.14869..$$

�Ǥϡ�����ԥ塼�����Ȥ��ʤ����ϤɤΤ褦�˷׻�������ɤ����������� �㤨�С� $a_5=\sqrt[5]{2}$ �ϤɤΤ褦�˷׻�������ɤ����������� ��ֽ̾�ˡ���Ѥ��Ƥߤ褦��(����ȵմؿ��������Ρ֥������פ��狼�롣)

$$1^5 =1 < 2< 2^5=32 1 2 1.5$$

$$1^5=1 < 2< 1.5^5=7.59.. 1 1.5 1.25$$

$$1^5=1 < 1.25^5=3.05.. 1 1.25 1.125$$

$$1.125^5=1.80..< 2<1.25^5=3.05.. 1.125 1.25 1.1875$$

$$1.125^5=1.80..<2< 1.1875^5=2.36.. 1.125 1.1875 1.15625$$

$$1.125^5=1.80<2< 1.15625^5=2.066.. \implies 1.125 <\sqrt[5]{2}<1.15625$$

�٤�����ɤ���¤� $\sqrt[5]{2}$ ���ͤ����ܤ��Ƥ������Ȥ����ƤȤ���������

����11.2 ������ �����������Ǥ��ä���(��)�� (��)����ĤΥ��ƥåפ�ʬ���롣

(��) �ޤ�

   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$\ni q\mapsto 2^q \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$

��ñĴ���äǤ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ $q_1,q_2\in$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ �� $q_1<q_2$ ��ߤ����Ȥ��� $q_1,q_2$ �ζ���ʬ��Ǥ���褦������ $b(>0)$ ��Ȥäơ�

$$a_1,a_2,b\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}, \quad q_1=\frac{a_1}{b},\quad q_2=\frac{a_2}{b},\quad a_1 <a_2$$

�ȤǤ��롣 $2^{a_1} < 2^{a_2}$ ������ˤ�ꤹ���˳Τ�����롣$b$ �躬��Ȥ�Ȥ������ ( $x\mapsto \sqrt[b]{x}$ �Ȥ����ؿ�)�� ñĴ�Ǥ��뤫�顢

$$\sqrt[b]{2^{a_1}} <\sqrt[b]{2^{a_2}}$$

���ʤ�� $2^{q_1}<2^{q_2}$ ���狼�롣

(��)����˰ܤ�����Ǥ�դ� $\epsilon>0$ �ˤ������ơ� $1/\epsilon$ ��� ��ʤ����� $N$ ��Ȥꡢ $\delta=1/N$ �Ȥ�����(�Ȥ꤫���ˤ�ꡢ ��ưŪ�� $\delta \leq 1$ ���ʤꤿ�Ĥ��Ȥȡ� $\delta\in$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ �Ǥ��뤳�Ȥ��狼�롣) 11.1 �β�����Ʊ�ͤˤ��ơ�

$$1< 2^\delta \leq 1+\delta$$

���狼�롣ξ�դεտ���Ȥäơ� $1-\delta < (1+\delta )^{-1}$ �����դ����

$$1-\delta < (1+\delta)^{-1}< 2^{-\delta} < 1.$$

$q\mapsto 2^q$ ��ñĴ��(��)�ˤ�ꡢ $-\delta <q<\delta$ �ʤ�Ǥ�դ� $q\in$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ �ˤ������ơ�

$$1-\delta < 2^{-\delta} < 2^q< 2^{\delta} < 1+ \delta$$

���ʤꤿ�ġ����ʤ����

$$\vert q\vert< \delta \implies \vert 2^q-1\vert<\epsilon$$

�������뤳�Ȥ�ʬ���ä���