��ʬ��ʬ�س���AI���� No.12

���� 12.1   ���ο� $a$ �ˤ������ơ�

   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$\ni q\mapsto a^q \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$

�� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ���Ϣ³�ؿ��˳�ĥ����� $a>1$ �ʤ��ñĴ���á�$a<1$ �ʤ��ñĴ������ $a=1$ �ʤ�����ؿ��ˤʤ롣 $x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �ˤ����뤳�δؿ����ͤ� $a^x$ �Ƚñ¤¯¡ï¿½

Proof. $x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �ˤ������ơ�$x$ �˼�«����ͭ������ $\{q_j\}$ ��Ȥꡢ $\{a^{q_j}\}$ ��ͤ���ȡ�����ϥ���������Ǥ��뤳�Ȥ��狼�롣 �椨�ˡ�������Ϥ���¿��˼�«���롣���ĤϤ��μ¿��� $x$ ���� $\{q_j\}$ �μ�����ˤ��ʤ����Ȥ��狼�뤫�顢����� $a^x$ �Ƚñ¤¤¤Æºï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ù¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ $x\to a^x$ ��Ϣ³�Ǥ��뤳�Ȥ�����Υ�ݡ�������β�����Ʊ�ͤ���ˡ�ˤ��ʬ���롣

$\qedsymbol$

��� 5.5 �� $e$ ��פ��Ф��Ƥ�������

$$e= \lim_{n\to \infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n$$

��� 12.2   �ؿ��ؿ� $e^x$ �εմؿ��� $\log(x)$ �ǽñ¤­¡ï¿½$x$ �μ����п��Ȥ�֡�

�մؿ��������ˤ�ꡢ$\log(x)$ �� $x$ ��ñĴ����Ϣ³�ؿ��Ǥ��뤳�Ȥ� �狼�롣

���ؤǤ��Ǥ�ʤ��¤��п�����Ȥ��Ƥ� $e$ ��Ȥꡢ �����п���ͤ���Τ����̤Ǥ��롣

���� 12.3   $a^x=e^{x \log(a)}$ .

���� 12.4 (``����1.19'')   ���Τ��Ȥ��ʤꤿ�ġ�

1. $\lim_{x\to \pm \infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$ .
2. $\lim_{x\to 0}(1+x) ^{1/x}=e$ .
3. $\lim_{x\to 0} \frac{\log(1+x)}{x}=1$ . ($\log(x)$ ����ʬ�δ��ܤˤʤ뼰)
4. $\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1$ . ($e^x$ ����ʬ�δ��ܤˤʤ뼰)

��������� $e^x$ �� $x\to 0$ �ε�ư�򵭽Ҥ����Τ����� $x\to \infty$ �ΤȤ��ε�ư������Ǥ��롣

���� 12.5  

$$\lim_{x\to \infty} \frac{x}{e^x}=0$$

���� 12.6  

$$\lim_{x\to \infty} \frac{x^3}{e^x}=0$$

��������衣(���ιֵ��Ǥ��ޤޤǤ������μ�����������Τɤ���Ѥ��Ƥ� ����ʤ���)

����10.2 ������

$a\in D=\{x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$; x\neq 0\}$ �ˤ����� $f$ ��Ϣ³�Ǥ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ Ǥ�դ� $\epsilon>0$ �ˤ������ơ�

$$\delta=\min ({ \frac{\vert a\vert}{2},\frac{\vert a\vert^2\epsilon}{4}})$$

�Ȥ�����

$\vert x-a\vert<\delta$ �ʤ�Ǥ�դ� $x$ ���Ф��ơ� $\vert f(x)-f(a)\vert<\epsilon$ ���ʤꤿ�Ĥ��Ȥ򼨤����� ���Τ���ˡ�$h=x-a$ �Ȥ����������ǡ�$x=a+h$ �Ǥ��ꡢ ¾���� $\vert x-a\vert<\delta$ ���顢

$$\vert h\vert<\frac{\vert a\vert}{2},$$ (*)

$$\vert h\vert<\frac{\vert a\vert^2\epsilon}{4}$$ (**)

�Ǥ��롣 �ޤ����Ȥʤ��� $\vert f(x)-f(a)\vert$ ��׻����Ƥߤ褦��

$$\vert f(x)-f(a)\vert =\vert f(a+h)-f(a)\vert =\vert\frac{1}{a+h}-... ...rt\frac{-h}{(a+h) a}\vert =\frac{\vert h\vert}{\vert a+h\vert\cdot\vert a\vert}$$ (A)

�����ǡ�(*)�Ȼ����������ˤ�ꡢ

$$\vert a+h\vert \geq \vert a\vert-\vert h\vert > \frac{\vert a\vert}{2}$$

�Ǥ��äơ� �ʤ��������ο���ʬ���ˤ����Ƥϡ�ʬ�줬�礭���ʤ�ۤɤ����ͤ� �������ʤ����顢

$$\frac{\vert h\vert}{\vert a+h\vert\c... ...rt a\vert}{2}\cdot\vert a\vert} = \frac{\vert h\vert}{\frac{\vert a\vert^2}{2}}$$ (B)

���ʤꤿ�ġ� ����ɤϡ�(**)�ˤ�ꡢ

$$\frac{\vert h\vert}{\frac{\vert a\vert^2}{2}}\leq \frac{\epsilon}{2}<\epsilon$$ (C)

�Ǥ��롣 (A),(B),(C)��Ĥʤ����碌��ȡ���Ǥ��� (Ǥ�դ� $\epsilon>0$ ���Ф��ơ�$\delta$ ���Τ褦������� $\vert x-a\vert<\delta$ �ʤ�Ǥ�դ� $x$ ���Ф���)

$$\vert f(x)-f(a)\vert<\epsilon$$

���ʤꤿ�Ĥ��Ȥ��狼�ä���

����

��β������Ѥ��������������ϡ��ֵ��ǽҤ٤����

$$\vert x+y\vert\leq \vert x\vert+\vert y\vert$$ (��)

�α��ѤǤ��롣 $x=a+h,y=-h$ �ΤȤ���(��)���������

$$\vert a\vert \leq \vert a+h\vert+\vert-h\vert =\vert a+h\vert+\vert h\vert$$

�����롣���Ȥ�Ŭ���˰ܹह����ɤ����������θ��������ա� �����Ф��Ǵְ㤨����������񤫤ʤ��褦�ˡ��Ȥ��˻Ϥ�δ֤� ���ܤλ���������(��)�򤷤ä���Ф������ȤϤ�����Τ褦�� �������뤳�Ȥ�ͤ��������ɤ���