��ʬ��ʬ�س���AI���� No.11

��� 11.1 (``1.3.6'')   �¿��Τ����� $I$ ��������줿�ؿ� $f$ ������ñĴ���ôؿ��Ǥ���Ȥϡ�

$$x_1,x_2\in I , x_1< x_2 \implies f(x_1)< f(x_2)$$

��ߤ����Ȥ��ˤ�����

���� 11.2 (``���ʽ�����1.16'')   $f$ ���Ķ�� $[a,b]$ ��ζ���ñĴ���ä�Ϣ³�ؿ��Ǥ���С�

$$f: [a,b] \to [f(a), f(b)]$$

�εմؿ�

$$f^{-1}: [f(a),f(b)]\to [a,b]$$

��¸�ߤ��롣 ����ˡ����� $f^{-1}$ ��Ϣ³�ǡ����Ķ���ñĴ���äǤ��롣

�� 11.3   �������� $n$ ���Ф��ơ� 0 �ʾ�μ¿��������Ȥ���ؿ� $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{\geq 0}\ni x\mapsto x^n \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{\geq 0}$ ��Ϣ³�Ǥ��ꡢ����ñĴ���äǤ��롣���δؿ������ͤǤ⤢�뤫�顢 $f$ �ϵռ�������ġ����δؿ���

$$x \to \sqrt[n]{x}$$

�Ƚ񤯡� �Ĥޤ� $y=\sqrt[n]{x}$ �� $y^n=x$ ��������ͣ������μ¿��Ǥ��롣

̿�� 11.4   Ǥ�դ����μ¿� $x$ ���Ф��ơ�

$$\sqrt[n]{x^{k}}= (\sqrt[n]{x})^k$$

���ʤꤿ�ġ�

Proof. $y=\sqrt[n]{x}$ �Ȥ����ȡ�����ˤ�ꡢ $y^n=x$ .

$$(y^k)^n=y^{k n}=(y^n)^k=x^k.$$

�椨�ˡ�$y^k$ �� $n$ �褷�� $x^k$ �ˤʤ�¿��Ǥ��롣 ���Τ褦�ʼ¿���ͣ��ġ����ʤ�� $\sqrt[n]{x^k}$ �����ʤ��ΤǤ��뤫�顢 ξ�Ԥ��������� $\qedsymbol$

Ʊ�ͤˤ��ơ����Τ��Ȥ�ʬ���롣

̿�� 11.5   �������� $a,b,c,d$ �� $a/b=c/d$ ���������С�Ǥ�դμ¿� $x$ �ˤ������ơ�

$$\sqrt[b]{x^a} =\sqrt[d]{x^c}$$

���ʤꤿ�ġ�

����̿�꤬�ʤꤿ�ĤΤǡ� $\sqrt[b]{x^a}$ �Τ��Ȥ� $x^{\frac{a}{b}}$ �� �񤤤Ƥ����ζ��줬�ʤ���

�� 11.6   ������Ǥϡ��⹻�ǽ������Ѵؿ����μ��� ���ΤǤ���Ȥ��롣

1. $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \ni x\mapsto \sin(x) \in [-1,1]$ �϶���ñĴ����Ϣ³�ؿ��Ǥ��롣���εմؿ��Τ��Ȥ� $\arcsin(x)$ �Ƚ񤯡�
2. $[0,\pi] \ni x\mapsto \cos(x) \in [-1,1]$ �϶���ñĴ����Ϣ³�ؿ��Ǥ��롣���εմؿ��Τ��Ȥ� $\arccos(x)$ �Ƚ񤯡�
3. $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \ni x\mapsto \tan(x) \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �϶���ñĴ����Ϣ³�ؿ��Ǥ��롣���εմؿ��Τ��Ȥ� $\arctan(x)$ �Ƚñ¤¯¡ï¿½

$\arcsin,\arccos,\arctan$ �Ϥ��줾�� $\sin^{-1},\cos^{-1}, \tan^{-1}$ �ʤɤȽ񤯤��Ȥ⤢�롣

���� 11.1   �������� $n$ �ˤ������� $a_n=\sqrt[n]{2}$ �Ȥ����� ���ΤȤ������� $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ �� $1$ �˼�«���뤳�Ȥ� $\epsilon-N$ ˡ���Ѥ��ƾ������ʤ�����

���� 11.2   ���Τ��Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

$$\forall \epsilon>0 \exists \delta>0; \forall q\in$$   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\vert q\vert<\delta \implies \vert 2^q-1\vert<\epsilon)$$

(��ݡ������꤬����ʾ夢����Ϥɤ��餫������򤱤Ф褤��)

����9.1 ������

$$\forall \epsilon>0 \exists \delta>0 ; \forall x ( \vert x-0\vert<\delta \implies \vert f(x)-f(0)\vert<\epsilon)$$ (��)

�����ꡢ���ʤ��

$$\exists \epsilon>0 \forall \delta>0 \exists x; (\vert x-0\vert<\delta \vert f(x)-f(0)\vert\geq \epsilon)$$ (��)

�򼨤����ɤ���

$\epsilon=\frac{1}{2}$ �����롣 �ɤ�� $\delta >0$ ��ȤäƤ��Ƥ⡢ $\frac{1}{\delta}$ ����礭������ $N$ ��¸�ߤ��� (���륭��ǥ��θ���)��

���� $N$ �ˤ�������

$$x=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+ 2 N \pi}$$

�Ȥ����С�

$$\vert x\vert = \frac{1}{\frac{\pi}{2}+ 2 N \pi}<\frac{1}{ N} <\delta$$

�ʤΤˡ�

$$f(x)=\sin(\frac{\pi}{2} + 2 N\pi)=\sin(\frac{\pi}{2})=1$$

�ǡ��Ȥ���

$$\vert f(x)-f(0)\vert=1 \geq \epsilon$$

�Ǥ��롣

��ξ����򥲡����ɽ�����뤳�Ȥ��Ǥ��롣 (��) �ˤ����ơ�$\exists$ ����ΤĤ��Ƥ����ѿ����̣��¦�פ��ѿ��� $\forall$ ����ΤĤ��Ƥ���ۤ����Ũ¦�פ��ѿ��ȸ��뤳�Ȥˤ��褦�� ̣��¦���ѿ��Ϥ�����Ƿ������ɤ�(����٤��Ǥ���)�Τˤ������� Ũ¦���ѿ��Ϥ����餫����뤳�ȤϤǤ��ʤ��� ���� $\vert f(x)-f(0)\vert\geq \epsilon$ ���ǽ�Ū����Ω���뤳�Ȥ��̣���ξ����� �ȸƤ٤С� ��ξ�����̣����ɬ���Ǥ���(�褦��̣������ά������)���Ȥ�ɽ���Ƥ��롣

$f(x)=\begin{cases} \sin(1/x) & (\text{if }x\neq 0)\\ 0 & (\text{if }x=0) \end{cases}$

Ũ¦	̣��¦
	$\epsilon=\frac{1}{2}$
$\delta >0$
	$x=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2 N \pi}$

���� $\vert f(x) -f(0)\vert\geq \epsilon$ .

������� $\epsilon$ �Ȥ��� $\frac{1}{2}$ �����򤷤����Ф���Ũ¦ $\delta$ �ϰճ��ʰ�ꡣ����򸫤��錄���� $x$ �򿵽Ť����ӡ� �����˷�ӤĤ����ΤǤ��ä���

(��)�ι�������촹����(Ũ¦����į�᤿)��Τ�(��)�Ǥ��롣 �㤨�� $f(x)=x^2-5x$ �� $x=0$ �ˤ�����Ϣ³���򤷤᤹�Τϡ��ʲ��Τ褦�ʥ�������ά��ͤ��Ƥ���Τ�Ʊ���Ǥ��롣

$f(x)=x^2-5x$

Ũ¦	̣��¦
$\epsilon>0$
	$\delta=\min(1, \epsilon/6)$
$x\in (-\delta,\delta)$

���� $\vert f(x) -f(0)\vert< \epsilon$ .

Ũ¦ $\epsilon$ �ϰճ��ʰ�ꡣ�Ф��뤳����Ϥ���򸫤� ���Ť� $\delta$ �����򡣤��줬ɬ���ΰ��Ǥ��ä��� �ʲ���Ũ¦ $x$ �򤤤������Ȼ�ߤ�ȿ�⤹��⡢��κפ�Ǥ��ä���

��򸫤Ƥ�ʬ����褦�ˡ�(��),(��)�Ϥ��줾�켡�Τ褦�˸��������Ƥ��ɤ���

$$\forall \epsilon>0 \exists \delta>0 ; \forall x\in (-\delta,\delta) \quad( \vert f(x)-f(0)\vert<\epsilon) '$$

$$\exists \epsilon>0 ; \forall \delta>0 \exists x \in (-\delta,\delta); \quad(\vert f(x)-f(0)\vert\geq \epsilon) '$$