next up previous
Next: About this document ...

    

��ʬ��ʬ�س���AI���� No.10

\fbox{Ϣ³´Ø¿ô¤ÎÀ­¼Á}

��� 10.1   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ ����ʬ���� $ D$ ���������줿 $ f$ �� $ D$ ��Ϣ³�Ǥ���Ȥϡ��������������Ƥ��� $ a$ ��Ϣ³�Ǥ��뤳�ȡ����ʤ����

$\displaystyle \forall a \in D \forall \epsilon >0 \exists \delta>0 ; \forall x\in D \left( \vert x-a\vert<\delta \implies \vert f(x)-f(a)\vert<\epsilon \right) $

������Ω�ĤȤ��˸�����

�������ϡ�$ D$ ������֤��Ķ�֤˸¤餺������Ū�� Ŭ�ѤǤ�����ǽҤ٤��Ƥ��롣�ܤ�����¿�ѿ��ξ��˾�������

���� 10.2 (``���ʽ�����1.11'')   Ʊ�����������Ϣ³�ؿ� $ f,g$ �ˤĤ��ơ�
  1. $ \lambda f + \mu g$ ��Ϣ³�ؿ��Ǥ��롣
  2. $ f g$ ��Ϣ³�ؿ��Ǥ��롣
  3. $ D$ ����ʬ���� % latex2html id marker 911 $ D_0=\{ x\in D; g(x)\neq 0\}$ �ˤ����ơ� $ f/g$ ��Ϣ³�ؿ��Ǥ��롣

���֤��Թ�ǽҤ٤�ΤϾ�ά���뤬���˸¤ˤĤ��Ƥ�Ʊ�ͤΤ��Ȥ��餬 ����Ω�ġ����ʽ�����1.10�򻲾ȤΤ��ȡ�

�� 10.3  
  1. $ x$ ��¿�༰����������ؿ�(¿�༰�ؿ�)�� $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ ��Ϣ³�Ǥ��롣
  2. $ x$ ��ͭ��������������ؿ�

    % latex2html id marker 926 $\displaystyle f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$   ($p,q$ �� $x$ ��¿�༰)

    (ͭ���ؿ�)�ϡ� % latex2html id marker 928 $ D_q=\{x\in$$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$% latex2html id marker 930 $ ; q(x)\neq 0\}$ ��Ϣ³�Ǥ��롣

��������ϡ�����������¿�ѿ��Ǥ��Ѥ���Ȥ�ä����䤫�˾��������

���� 10.4   ��Ĥ�Ϣ³�ؿ��ι����ؿ���Ϣ³�Ǥ��롣

���� 10.5 (``���ʽ�����1.13'')   �ؿ� $ f$ �� $ x=a$ ��Ϣ³�Ȥ��� $ f(a)>0$ �Ȥ��롣���ΤȤ��� $ \exists \delta>0$ �ǡ�

$\displaystyle (a-\delta,a+\delta)\implies f(a)>0 $

����������Τ�¸�ߤ��롣

���Τ��Ȥϡ���Ϣ³ $ \implies $ ����դ��Ĥʤ��äƤ���פȤ������Ȥ� ɽ��ˡ�ΰ�Ĥȸ����롣

���� 10.6 (``���ʽ�����1.14'', ����ͤ�����)   �ؿ� $ f$ ���Ķ�� $ [a,b]$ ��Ϣ³(���ʤ����$ [a,b]$ �γ�����Ϣ³)�Ȥ��롣 ���ΤȤ� $ f(a)$ �� $ f(b)$ ����֤��� $ \gamma$ �ˤ������ơ� $ f(c)=\gamma$ ��ߤ����褦�� $ c\in [a,b]$ ��¸�ߤ��롣

��������ϡ�����������ˤ����ơ�Ϣ�뽸���Ϣ³����Ϣ��Ǥ���פȤ��� �����˰��̲�����롣 (��֤ϼ¿�ľ����Ϣ����ʬ����Ȥ�����ħ�Ť��뤳�Ȥ��Ǥ��롣)

���� 10.1  

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x} $

�Ȥ����ȡ�$ f$ �� $ x=5$ �ˤ�����Ϣ³�Ǥ��뤳�Ȥ�����9.2��(��)�ˤ������ä� (�Ĥޤꡢ���������ã���Ѥ�����) �������ʤ�����

���� 10.2  

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x} $

�Ȥ����ȡ�$ f$ �� $ D=\{x\in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$% latex2html id marker 997 $ ; x\neq 0\}$ �ˤ�����Ϣ³�Ǥ��뤳�Ȥ� ����ˤ������ä� �������ʤ�����

����8.1 ������

$\displaystyle \lim_{x\to 2 } x^3 =8 $

�Ǥ��롣����򼨤�����

Ǥ�դ� $ \epsilon>0$ �ˤ������ơ� $ \delta=\min(1,\frac{\epsilon}{100}) $ �Ȥ����� ����ȡ� $ \vert x-2\vert<\delta$ ���������褦�� Ǥ�դ� $ x$ ���Ф��ơ� $ \vert x^3-8\vert <\epsilon$ �Ȥʤ뤳�Ȥ��ʲ��˼������� ��ñ�Τ��ᡢ$ t=$ $ x-2$ ����ޤ뿷�����ѿ� $ t$ �������ơ� $ x=2+t$ ���ѿ��Ѵ����뤳�Ȥˤ��롣 $ \vert x-2\vert<\delta$ �ˤ�ꡢ

  1. $ \vert t\vert<\delta$
  2. $ \vert t\vert<1$
������Ω�Ĥ��Ȥ����դ��롣

  $\displaystyle \vert x^3-8\vert$    
$\displaystyle =$ % latex2html id marker 1026 $\displaystyle \vert(2+t)^3-8\vert \quad ( t=x+2)$    
$\displaystyle =$ % latex2html id marker 1028 $\displaystyle \vert 12 t + 6 t^2 + t^3\vert \quad($���Ÿ��$\displaystyle )$    
% latex2html id marker 1030 $\displaystyle \leq$ % latex2html id marker 1031 $\displaystyle 12 \vert t\vert + 6 \vert t^2\vert + \vert t^3\vert \quad($����������$\displaystyle )$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle 12 \vert t\vert + 6 \vert t\vert^2 + \vert t\vert^3$    
% latex2html id marker 1035 $\displaystyle \leq$ $\displaystyle 12 \vert t\vert + 6 \vert t\vert + \vert t\vert$   ( % latex2html id marker 1038 $ \vert t\vert\leq 1$ ������)    
$\displaystyle =$ $\displaystyle 19 \vert t\vert$    
$\displaystyle <$ $\displaystyle 19 \delta$    $ \vert t\vert<\delta$ ������)    
$\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{19}{100} \epsilon$    
$\displaystyle <$ $\displaystyle \epsilon$    

���ʤꤿ�ġ� % latex2html id marker 1075 $ \qedsymbol$

����: �����ʸ����ɽ�����褦�ʿ� ( $ \epsilon,\delta, x,t$ �ʤ�)�� �������� ���ܤ��褦��

�ʾ�򸵤ˡ���ξ����Ρ�4�Ĥβ�������ʬ�򸫤Ƥߤ롣

  1. ���ο� $ \epsilon$ ��Ϳ�����Ƥ��롣���ؤǡ�Ǥ�աפȤ������ˤ� �ؤɤ���ͤ���Ƥ�ʲ��ε���������פǤ��롣�٤Ȥ�����̣�Ǥ��롣 �������äơ�$ \epsilon$ ���ͤ��������ҥȤ��Թ�ˤ�ä��ѹ������ꤹ�뤳�Ȥ� �Ǥ��ʤ���
  2. $ \delta$ ���ͤ���Ƥ��롣�����ͤϾ����Τʤ��Ǵ��˷�ޤäƤ���ǡ��� (���ξ��� $ \epsilon$ ) ����ޤä���ü�˳μ¤˷�ޤ롣
  3. $ x$ ���о줷��������� ����줿�ϰ� $ \vert x-2\vert<\delta$ ��ư����롣 ����ʳ��ˤ� �ؤɤ���ͤ���Ƥ�ʲ��ε���������פǤ���٤褦�˰ʲ��ε������Ȥ�Ω�Ƥ� ɬ�פ����롣
  4. $ t$ �Ϸ׻����ؤΤ���Ρ����������Ǥ��롣 �����ͤ� $ x$ ���ͤ���μ¤˷�ޤ롣

ARRAY(0x8e5ae10)

next up previous
Next: About this document ...
2009-06-22