��ʬ��ʬ�س���AI���� No.9

��� 9.1   $f$ �ϼ¿� $a$ �ζ᤯��������줿�ؿ��Ǥ���Ȥ��롣 ���ΤȤ���$f$ �� $a$ ��Ϣ³�Ǥ���Ȥϡ�

$$\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$$

���ʤꤿ�ĤȤ��ˤ�����

�˸¤�����ˤ�ꡢ�������ϼ��Τ褦�˸����������롣

$$\forall \epsilon>0, \exists \delta>0; (0< \vert x-a\vert<\delta \ \implies \ \vert f(x)-f(a)\vert<\epsilon)$$

$x=a$ �ξ����θ�˲ä���ȡ����Τ褦���������ʤꤿ�Ĥ��Ȥ��狼�롣

���� 9.2   $f$ �ϼ¿� $a$ �ζ᤯��������줿�ؿ��Ǥ���Ȥ��롣 ���ΤȤ��� $f$ �� $a$ ��Ϣ³�Ǥ��뤳�Ȥϡ����ξ���Ʊ�ͤǤ��롣

(��) $\forall \epsilon>0, \exists \delta>0; ( \vert x-a\vert<\delta \ \implies \ \vert f(x)-f(a)\vert<\epsilon)$

�������ǡ� $\vert x-a\vert$ �� $x$ �� $a$ �ε�Υ�� $\vert f(x)-f(a)\vert$ �� $f(x)$ �� $f(a)$ �ε�Υ�Ǥ��뤳�Ȥ����դ��롣��������ˤ��Ϣ³���Ρ�����פ� ¿�ѿ��ؿ��䡢��Υ���֤Τ������μ�����Ϣ³��������� ���Τޤް��̲����뤳�Ȥ��Ǥ��롣

��������ϡ������פǤϤ��뤬�� Ϣ³��������ˤ����� ``$x=a$ '' �Ρ��㳰Ū�ʰ����פ�������Ƥष�� �����ʷ��򤷤Ƥ��롣���������ιֵ��ǤϤ�äѤ�Ϣ³����Τ����ˤ� ���������(��)��Ƚ�ꤹ�����Ȥˤ��롣

���� 9.3   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ���������줿�ؿ� $f(x): x\to x^2$ �ˤ������ơ�

1. $$\vert x-\sqrt{2}\vert<\delta \ \implies \vert f(x)-f(\sqrt{2})\vert <0.1$$
   �����������ο� $\delta$ �����󤲡� �ºݤˤ��줬�ʤꤿ�Ĥ��Ȥ�Τ���ʤ�����

2. $$\vert x-\sqrt{2}\vert<\delta \ \implies \vert f(x)-f(\sqrt{2})\vert <0.01$$
   �����������ο� $\delta$ �����󤲡� �ºݤˤ��줬�ʤꤿ�Ĥ��Ȥ�Τ���ʤ�����

3. $f(x)$ �� $x=\sqrt{2}$ ��Ϣ³�Ǥ��뤳�Ȥ� (��)��Τ���뤳�Ȥˤ��������ʤ�����

(��)�����ꡢ���ʤ���� ��$f$ �� $a$ ��Ϣ³�Ǥʤ��פ��Ȥϡ� ���Τ褦�˽�ɽ�����Ȥ��Ǥ��롣

(��) $\exists \epsilon>0; \forall \delta>0 \ ( \vert x-a\vert<\delta \$    ���� $\ \vert f(x)-f(a)\vert\geq \epsilon)$

���� 9.1   �ؿ� $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ��

$$% latex2html id marker 1017f(x)= \begin{cases} \sin(1/x) &... ...q 0 \text{ ¤Î¤È¤­ })\\ 0 & (x =0 \text{ ¤Î¤È¤­ }) \end{cases}$$

���������Ȥ��� $f$ �� $x=0$ ��Ϣ³�ǤϤʤ����Ȥ�������ʤ����� ��������$\sin$ �� $0,\pi, \frac{\pi}{2}$ �Ǥ��ͤ䡢 $\sin$ ������ $2\pi$ �μ����ؿ��Ǥ��뤳�Ȥ�ͳ�˻Ȥä��ɤ���ΤȤ��롣

����7.1 �������⡣

�� �ޤ�����7.2, ����7.3 ���ʤ���� ��$\{a_n\}$ ������� $c$ �˼�«����Ȥ������Ȥȡ� $\{a_n\}$ ������������Ǥ���Ȥ������Ȥ�Ʊ�ͤǤ���� ���Ѥ��Ʋ�������Τ����ԤȤ��Ƥ����Ƥ������ɤ��ä������Τ�ʤ���

�� ������ A $\implies$ B �ϡ�A�ʤ�Ф��ĤǤ�B������Ω�ġפΰ�̣�ˤ����Ȥ�ʤ���

�� ������Ǥ����������Ū�˥��᡼�����뤳�Ȥ������ؤζ�ƻ�Ǥ��롣 ���Τ���ˤϤ����Ĥ����󤲤Ƥߤ�Τ��ɤ��� (��������������ǤϾ����ˤϤʤ�ʤ����Ȥ��ΤäƤ������ȡ�)

����7.1(1)���(�����)��

$\{a_n\}$ �ϥ���������ʤΤǡ�����¿� $c$ �˼�«���롣(����7.3) �Ȥ�����������ˤ�ꡢ$c\neq 0$ �Ǥ��뤳�Ȥ��狼�롣

�ּ�«������ˤǤ���� $\epsilon$ �פȤ��� $\vert c\vert/2$ ��Ȥ�ȡ�

$$\exists N >0 \quad (n>N \implies \vert a_n -c\vert<\vert c\vert/2)$$

���狼�롣���� $N$ ����礭��Ǥ�դ����� $n$ ���Ф��ơ�

$$\vert c\vert \leq \vert c-a_n+ a_n\vert \leq \vert c-a_n\vert+ \vert a_n\vert <\vert c\vert/2+\vert a_n\vert$$

���ʤ���� $\vert a_n\vert> \vert c\vert/2$ ���狼�롣�椨�ˡ�$N_1$ �Ȥ��ƾ�� $N$ , $r$ �Ȥ��� $\vert c\vert/2$ ��Ȥ�Ф褤��

����7.1(1)�β���������ˡ��,���������ꡢ���ʤ��

$$\forall r>0\forall N_1\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0} \exists n\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}} (n>N_1 \text{ and } \vert a_n\vert< r)$$ (��)

�����ꤹ�롣 ���ΤȤ� $a_n$ �ϼ¤� 0 �˼�«���뤳�Ȥ򺣤���������褦�� Ǥ�դ� $\epsilon>0$ ���Ф��ơ����� $N$ ��¸�ߤ��ơ�

$$n,m>N \implies \vert a_n-a_m\vert<\epsilon/2$$ (��)

���ʤꤿ�ġ�

��μ�(��)�� $r$ �Ȥ��� $\epsilon/2$ , $N_1$ �Ȥ��� $N$ ��Ȥ뤳�Ȥˤ�ꡢ ���� $n_0$ ��¸�ߤ��ơ�

$$n_0>N \vert a_{n_0}\vert< \epsilon/2$$ (��)

������Ω�Ĥ��Ȥ��狼�롣(��)��(��)���Ȥ߹�碌��ȡ�

$$m>N \implies \vert a_m\vert=\vert a_m-a_{n_0}+ a_{n_0}\vert\leq \vert a_m-a_{n_0}\vert+\vert a_{n_0}\vert<\epsilon$$

����������롣�Ĥޤꡢ$\{a_n\}$ �� 0 �˼�«���롣

�Ȥ�����������ǡ�$\{a_n\}$ �� 0 �˼�«���ʤ��Ȥ����櫓�����顢����� ̷��Ǥ��롣 $\qedsymbol$

����7.1 (2) �β����� (�ޤ��Ϥ�� $\{b_j\}$ ���Ĥ������Ȥ����ס�)

(1)�Τ褦�� $N_1$ ���������

$$% latex2html id marker 1103b_j= \begin{cases} 0 & \text{ (... ...¤È¤­)}\\ \frac{1}{a_j} & \text{ ($j> N_1$ ¤Î¤È¤­)} \end{cases}$$

����������� Ǥ�դ� $\epsilon>0$ �ˤ������ơ� ($\epsilon$ ���ͤ�ǡ���˴ط��ʤ�) ��� $N_1$ ��Ȥ�ȡ�$n>N_1$ �ʤ�Ǥ�դ����� $n$ �ˤ������ơ�

$$\vert a_n b_n -1\vert=\vert 1-1\vert=0$$

�Ȥʤ롣���ʤ���� $\lim_{n\to \infty} a_n b_n=1$ . ARRAY(0x890e870)