��ʬ��ʬ�س���AI���� No.7

����������Ͽ����������ꡢ̤�Το���õ��Ф��Ȥ��� ����ͭ���Ǥ��롣����ϡּ�«����ͤ˸��ڤ����˼�«��Ƚ�ꤹ��� ���Ȥ��Ǥ��뤫��Ǥ��롣

���� $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ ���¿��� $c$ �˼�«����Ȥϡ�

$$\forall \epsilon>0 \exists N\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0} (n>N\implies \vert a_n -c\vert<\epsilon)$$

������Ω�ĤȤ��ˤ����ΤǤ��ä������å���� $\implies$ �ϡ� ...��ߤ����ʤ����ĤǤ��Ȥ�����̣�Ǥ��äơ������� �������ɽ�������

$$\forall \epsilon>0 \exists N\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0} \und... ...l n \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}} (n>N\implies \vert a_n -c\vert<\epsilon)$$

�Ȥʤ롣������ˤ��衢��������򤽤Τޤ��Ѥ���¤ꡢ ��«�� $c$ ���Τ�ͤм�«����Ƚ��Ǥ��ʤ��� ��ͭ����ñĴ��ϼ�«����פȤ��������䡢����ν������� ������䤦��ΤǤ��롣�����������ޤ����Τ褦������ô����

��� 7.1   ���� $\{a_n\}$ ������������Ǥ���Ȥϡ�

$$\forall \epsilon>0 \exists N \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0} \forall n,m \geq N \quad \vert a_n-a_m\vert<\epsilon$$

���ʤꤿ�ĤȤ��˸�����

���� 7.2   �¿��μ�«��ϥ���������Ǥ��롣

���� 7.3 (``����1.8'')   ����������ϼ�«��Ǥ��롣

ʸ�ϡ��Ȥ��� $\forall, \exists$ ��ޤ�ʸ�ϤˤĤ��ơ� ���Ρ�����פ����ɬ�פ������ˤ��������롣 ���å���ͤ����ʬ�����礬¿����������Ǥ��Խ�ʬ�ǡ� ȿ�Ϳ���Ū��ʬ����褦�ˤʤä��ۤ����褤������Ƥ��ޤ��� ��ñ�ǡ����ε�§�򵡳�Ū��Ŭ�Ѥ�����ɤ���

1. ��$\forall x$ �ˤ������� ... ���ʤꤿ�ġ� ������� �� $\exists x$ �ˤ������ơ� ... ���ʤꤿ���ʤ��� �Ǥ��롣
2. �� $\exists x$ �ˤ������ơ� ... ���ʤꤿ�ġ� ������� �� $\forall x$ �ˤ������ơ�.... ���ʤꤿ���ʤ��� �Ǥ��롣
3. ��A �ʤ�� B �Ǥ���פ�����ϡ���A �ʤΤˡ�B�Ǥʤ��פǤ��롣

��ä�û������ǽ񤯤ȡ�

$$\neg(\exists x P(x)) =\exists x (\neg P (x))$$

$$\neg(\forall x P(x)) =\forall x (\neg P (x))$$

$$\neg(A \implies B) = (A \neg B)$$

���� 7.1   $\{a_j\}_{j=1}^\infty$ ������������ǡ�������0 �˼�«���ʤ��Ȥ���

1. �������ο� $r$ �Ȥ����������� $N_1$ ��¸�ߤ��ơ�
   $$n>N_1 \implies \vert a_n\vert \geq r$$
   ������Ω�Ĥ��Ȥ򼨤��ʤ�����

   (�ҥ��:

   $$\exists r>0 \exists N_1 \in {\mbox{${... ...{>0} \forall n\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}(n>N_1 \implies \vert a_n\vert\geq r)$$
   �������
   $$\forall r>0 \forall N_1 \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0} \exists n\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}( n> N_1 \text{ and } \vert a_n\vert< r)$$
   �Ǥ��롣)

2. ���������� $\{ b_j\}$ �ǡ� $\{a_j b_j\}$ �� $1$ �˼�«�����Τ����뤳�Ȥ�������ʤ�����

���ޥ�:���ι����γ�ά

�Τϡ����ϡ�ñ�ˤ����ˤ���פ�ΤǤ��äơ� ����������Ĵ�٤褦�ȸ������٤Ǥ��ä����� ����Ǥϡ֥ѥ󤬤ʤ���С��������򿩤٤���ɤ��Τˡ� �Ȥ���ȯ����Ʊ����٥�ˤʤäƤ��ޤ��� ����Ǥϡ����ϡֺ��ʤ��ȿ��٤��ʤ�(�Ȥ��ʤ�)�פ�ΤǤ��롣 ����������������ǯ���ե�󥹳�̿�ε�����ǯ��Ʊ��1789ǯ�ʤΤ� ��ħŪ�Ǥ��롣

(Step 1). �ޤ��������������ͤФʤ�ʤ��������Ƽ������ˤĤ��� ��ˡ����ˡ��¸�ߤ��ơ���ˡ�βĴ�ˡ§�����ˡ§��������Ω�Ĥ��Ȥ� ����Ū��Ǽˡ�Ǽ������ݥ��󥫥����ֲʳؤ���ˡ��(����ʸ��)�� �ߤ�Ф��γ�ά���Τ뤳�Ȥ��Ǥ��롣

���������Τν���� $\mathbb{N}$ �Ƚ񤳤���

(Step 2). ����ο��פȤ��η׻���§��Ƴ�����ơ������������롣 �㤨�С����Τ褦�ʤ��Ȥ򤹤롣

1. ����Ū�ˡ� $a-b$ ( $a,b\in \mathbb{N})$ �η��ǽ񤱤���������ȸƤ֡�
2. $a-b$ �� $c-d$ ��Ʊ��������ɽ���Τϡ�$a+d=b+c$ ������Ω�ĤȤ��ǡ� ���λ��˸¤롣

���Τ��ȡ� �������¡������ѡ�������羮�ط��������������餬�ߤ��� �֤��ޤ�������(̵̷��Ǥ���)���Ȥ򼨤��� ��֤ǤϤ��뤬������ʤ��񤷤����ȤǤϤʤ���

(���Τ褦�ʤ��Ȥ϶�ǯ(�ȸ��äƤ�Ⱦ�������餤��) Grothendieck ����ˡ�Ȥ��� ���̲����줿��)

���������Τν���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Ƚ񤯡�

(Step 3). ͭ�����������롣

1. ����Ū�ˡ� $a/b$ ( $a,b\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}, b\neq 0)$ �η��ǽ񤱤����ͭ�����ȸƤ֡�
2. $a/b$ �� $c/d$ ��Ʊ��������ɽ���Τϡ�$ad=bc$ ������Ω�ĤȤ��ǡ� ���λ��˸¤롣

ͭ�������Ф��Ƥ�ޤ�����¡������Ѥ�����羮�ط�������Ǥ��ơ� �����Ϲ⹻�ޤǤ˽��ä��褦�ʽ��ط������������Ȥ��狼�롣

������ʬ�ϡִĤξ��ġפ��Ȥ��ֶɽ경�פȤ��ư��̲�����롣 ���ΰ���ʬ������ؤǽ������Ȥˤʤ롣

(Step 4). �¿��������롣

1. ͭ�����Υ��������� $\{a_n\}$ �����Τ� $\mathfrak{R}$ �Ȥ�������
2. ��Ĥ� $\mathfrak{R}$ �θ� $\{a_n\}$ �� $\{b_n\}$ �ϡ� ���� $\{a_n-b_n\}$ �� 0 �˼�«����Ȥ���Ʊ�����饹��°����פȸƤ֡�
3. $\mathfrak{R}$ ���Τ褦�ʥ��饹�櫓��ʬ�����Ȥ��γƥ��饹��¿� �ȸƤӡ��¿������Τ� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �Ƚ񤯡�

���� $\{a_n\}$ �����������󤫤ɤ������� 0 �˼�«���뤫�ɤ����� ��ͭ�����������Ǥ�Ƚ��Ǥ��뤳�Ȥ����դ��褦��

���Υ��ƥåפϡ�Ǥ�դε�Υ���֤ˤĤ��ơ����δ�������¸�ߤ���� �Ȥ�������(����������)�Ȥ��ư��̲�����롣

�ʾ�Τ褦�ˤ��ƹ��������¿������� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �������ϳؤξ�Ȥ��ƽ�ʬ���ǤǤ��뤳�ȡ� ���ʤ���־��ͭ���ʼ¿��ν����ɬ����¤���ġפ� ��Ǥ�դμ¿��Υ���������Ϥ���¿��˼�«����� �ʤɤλ��¤򼨤����Ȥ��Ǥ������줬����Ū�ʲ��ϳؤ� ��ȯ���Ȥ������Ȥˤʤ롣