��ʬ��ʬ�س���AI���� No.5

�ޤ���������ˤĤ����������Ƥ�������

��� 5.1   �¿� $n$ �� 0 �ʾ������ $k$ �Ȥˤ������ơ�

$$\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)(n-2)\dots (n-k+1)}{k!}$$

�Τ��Ȥ���෸���Ȥ�֡�

�⹻�Ǥ� $n$ �����������ΤȤ����ɤ��о줷�ơ����ΤȤ��ˤ� $\binom{n}{k}$ �� �Ծ��ο��� ${}_n C_k$ ���������ΤǤ��ä���

���� 5.2 (�������)   �������� $n$ �ˤĤ��ơ����Τ��Ȥ�����Ω�ġ�

$$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^k y^{n-k}$$

̿�� 5.3   $\{\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}\}_{n=1}^\infty$ �ϼ�«���롣���ζ˸¤� (����ε���������äƻȤä�)

$$\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}$$

�Ƚ񤯡�

���� 5.4 (``��1.8'')  

$$a_n=\left( 1+\frac{1}{n} \right)^n \quad (=\left( \frac{n+1}{n} \right)^n )$$

�Ȥ��������ΤȤ�

1. $\{a_n \}_{n=1}^\infty$ ��ñĴ���äǤ��롣
2. Ǥ�դ� $n$ �ˤ������ơ� $a_n \leq \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}.$
3. $\{a_n\}$ �Ϥ��������ͤ˼�«���롣

Proof.

$$a_n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \left(\frac{1}{n}\right)^k = \sum_{k=0}^n\frac{n (n-1)(n-2)\dots (n-k+1)}{n^k k!}$$

$$= \sum_{k=0}^n \left(1-\frac{1}{n}\right) \left(1-\frac{2}{n}\right) \dots \left(1-\frac{k-1}{n}\right) \frac{1}{ k!}$$

�����ǺǸ���¤˸������ $b_{n,k}$ �Ƚ񤯤ȡ� $k$ ����ꤹ�뤴�Ȥˡ� $b_{n,k}$ ��ñĴ���äǡ� $\frac{1}{k!}$ ���Ͼ�������

$\qedsymbol$

��� 5.5   ��«��

$$\lim_{n\to \infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n$$

�Τ��Ȥ� $e$ �Ƚ񤭡��ͥ��ԥ��ο��Ȥ��������п�����ȸƤ֡�

̿�� 5.6   ��������Τ褦�� $b_{n,k}$ ���᤿�Ȥ���

1. Ǥ�դ� $N<n$ �ˤ������ơ� $\sum_{k=0}^N b_{n,k} \leq e$ .
2. �¤� $e$ ��̿�� 5.3 �ο��Ȱ��פ��롣

̿�� 5.3 ���¤������᤯��«���롣

$$1/0! = 1$$

$$1/1! = 1$$

$$1/2! = 0 .5\phantom{00000000}$$

$$1/3! = 0 .166666666$$

$$1/4! = 0 .041666666$$

$$1/5! = 0 .008333333$$

$$1/6! = 0 .001388888$$

$$1/7! = 0 .000198412$$

$$1/8! = 0 .000024801$$

$$1/9! = 0 .000002755$$

$$1/10! = 0 .000000275$$

$$( ) = 2 .718281801$$

$$( )\quad e = 2 .718281828$$

���� 5.1   Ĺ�����֤��礦�ɡ� $5 e$ �⤷���� $10 e$ ������᡼�ȥ���Ӥ��ɮ���구���� �Ѥ��ƺ�ޤ��ʤ������Ӥˤ�

$$e=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}$$

����ʬ�¤ΤȤ�������������뤳�ȡ� ����¤Τ����ɤ����٤ޤǤ򵤤ˤ���ɬ�פ������������? (�ڤ���Ǥ�뤳��)

�ֵ��ȥ�ݡ��Ⱥ���������ä����Ȥ��鵤�Ť�������: ��ν����Ǥϸ���򾷤��ޤ��͡�������

$$e=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}=1+1+0.5+0.16666+\dots$$

�ˤ����ơ����դ��¤����줾��ɤγ��Ǵ�Ϳ���Ƥ��뤫 �����ͻҤ��ӥ���դǽ񤱡�â������դ�Ĺ����(�구�ǤϤ�����ϰϤ� ���Τ�) $5 e$ �ʤ��� $10 e$ ������᡼�ȥ�ˤ��衣�פȤ����ۤ����ޤ� �ޤ���ɽ���Ǥ��������ߥޥ���