��ʬ��ʬ�س���AI���� No.4

���� 4.1 (�ƥ�����``����1.4'')   �¿��� $\{a_n\}$ , $\{b_n\}$ �Ϥ��줾���«����Ȥ��롣���ΤȤ���

1. �ֶ˸¤�Ȥ�פȤ������������Ǥ��롣���ʤ���� $\forall \lambda,\mu\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ������ $\lim_{n\to \infty} (\lambda a_n+ \mu b_n)$ �ϼ�«���ơ�
   $$\lim_{n\to \infty} (\lambda a_n+ \mu b_n) = \lambda (\lim_{n\to \infty} a_n) +\mu (\lim_{n\to \infty} b_n)$$

2. �ּ¿��ξ�ˡ��Ϣ³�Ǥ��롣��
   $$\lim_{n\to \infty} (a_n b_n) =(\lim_{n\to \infty} a_n) (\lim_{n\to \infty} b_n)$$

3. �¿��ν�ˡ�ϡ�Ϣ³�פǤ��롣 ��äȾܤ��������ȡ� $\lim_{n\to \infty} b_n\neq 0$ �ʤ顢 ͭ�¸Ĥ��㳰������� $b_n\neq 0$ �Ǥ��äơ�
   $$\lim_{n\to \infty} (a_n /b_n) =(\lim_{n\to \infty} a_n) /(\lim_{n\to \infty} b_n).$$

��� 4.2   �¿��� $\{a_n\}$ ��ñĴ�����Ǥ���Ȥϡ�

$$\forall n \forall m (n \geq m \implies a_n \geq a_m)$$

���ʤꤿ�ĤȤ��ˤ�����

���������ϡ����Το�����̤�Το� ($e$ �ʤ�) ����Ф��Ȥ���ͭ���Ǥ��롣

���� 4.3 (�ƥ�����``����1.5'')       ï¿½ï¿½ï¿½Í­ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ã±Ä´ï¿½ï¿½ï¿½Ã¿ï¿½ï¿½ï¿½ $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ �Ϥ��ξ�¤˼�«���롣

������󡢡־�פ����ơֲ��פˡ���ñĴ���áפ� ñĴ�������֤�������̿�������Ω�ġ�

���� 4.1   $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ��

$$f(x)=\frac{1}{x}+\frac{x}{2}$$

��������롣 ����ˡ� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ����ʬ���� $S$ ��

$$S=\{x; x>0$$    ���� $$x^2>2\}$$

��������롣 ���ΤȤ���

1. Ǥ�դ� $x\in S$ ���Ф��ơ�$f(x)\in S$ ���ʤꤿ�Ĥ��Ȥ򼨤��ʤ�����
2. Ǥ�դ� $x\in S$ ���Ф��ơ�
   $$f(x)<x$$
   ������Ω�Ĥ��Ȥ򼨤��ʤ�����
3. �¿��� $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ ��
   $$a_1=2 , \quad a_{n+1}=f(a_{n}) \qquad (n=1,2,3,\dots)$$
   ���������ȡ����ο���Ϥ���¿� $\alpha$ �˼�«���뤳�Ȥ� �����ʤ�����
4. �¿� $\alpha$ �� $\alpha=f(\alpha)$ �����������Ȥ򼨤��ʤ�����

��ο���������᤯��«���롣 ;�ϤΤ���ͤϡ����������������եȤʤɤǡ�$a_n$ �� �ǽ�ο����׻����Ƥߤ���ɤ���