��ʬ��ʬ�س���AI���� No.2

$\bullet$ ����Ȥϡ� ���դλȤ����ΤȤ꤭��Τ��ȤǤ����� ���ؤǤϡ��ɤΤ褦�ʸ��դ⡢���Τ褦�ʼ����ʤ��ǻȤ��뤳�ȤϤʤ��� (���������������ס�ͭ�����ס����¡ס����ѡפʤɤθ��դ򤭤�����������Τ� ��֤������롣 �����ˤĤ��ƾܺ٤��������Τ� ���ιֵ��ǤϹ����롣 (üŪ�˸����С������ϵ�Ǽˡ����Ѥ���������� ͭ�����������Ρ־��� $m/n$ ��Ŭ���ʡ����������ɤ�����Ƚ�구§�פ� ������롣) �����ˤĤ��ƾܺ٤��������Τ� ���ιֵ��ǤϹ����롣 �¿���ͭ�����ζ˸¤Ȥ��� �������Τ����������Ϥ��Ρֶ˸¡פ�����Ǥ��롣)

$\bullet$ $\forall$ �� $\exists$ �ȤϤʤˤ���

$$\forall x ....$$

�ϡ��֤ɤ�� $x$ ���Ф��Ƥ⡢ $....$ ���ʤꤿ�ġפȤ�����̣��

$$\exists x ....$$

�ϡ��֤ʤˤ������Ĥ� $x$ ���Ф��Ƥϡ� $....$ ���ʤꤿ�ġפȤ�����̣���Ѥ��롣

�������������ΤΤ��Ȥ򤳤ιֵ��Ǥ� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}$ �Ƚ񤯡� ����Ȥϡ�����Ū�ˤϼ��Τ褦������Ǥ��롣

��� 2.1   �¿��� $\{a_n\}_{n=1} ^\infty$ �Ȥϡ� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}$ ���� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �ؤμ��� �Τ��ȤǤ��롣

���󤬡ּ�«����פȤ������Ȥθ�̩������򤷤褦�� ����ˤϡ������ͤ��Ѥ��롣

��� 2.2  

$$% latex2html id marker 973\vert x\vert= \sqrt{x^2} = \begi... ...x & \text{ if } x\geq 0\\ -x & \text{ if } x< 0\\ \end{cases}$$

(������ʿ������0�ʾ�Τۤ������֡�)

���ʿ������Ȥ�����ϼ��Τ褦�� �⼡���ζ��֤ˤ��ưפ˳�ĥ�Ǥ���Ȥ���Ĺ�����ġ�

$$\vert\vert(x_1,x_2,\dots,x_n)\vert\vert=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2+\dots + x_n^2}$$

���λ�����������¤Ϲ⼡���ξ��ˤ�����Ω�ġ�

���� 2.3 (����������)   Ǥ�դμ¿� $x,y$ ���Ф��ơ�

$$\vert x+ y\vert \leq \vert x\vert+\vert y\vert$$

���ʤꤿ�ġ�

���褤���«���������Ҥ٤褦��

��� 2.4   �¿��� $\{a_n\}_{n=1} ^\infty$ ���¿� $c$ ����«�����Ȥϡ�

$$\forall \epsilon>0 \exists N \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0} (n>N \implies \vert a_n -c\vert<\epsilon)$$

���ʤꤿ�ĤȤ��˸�����

����������Ȥ����ʤ���褦�ˤʤ�С����ιֵ�����ɸ�� 80% �� ã����줿�ȸ��ä��ɤ���

���� 2.5   ���� $\{a_n \}$ ��

$$a_n= \begin{cases} 1 & \text{$n$ ¤¬ $10$ ¤ÎÇÜ¿ô¤Î¤È¤­}\\ 0 & \text{¤½¤Î¾¤Î¤È¤­}\\ \end{cases}$$

���������Ȥ��� $\{a_n \}$ �ϲ��������ͤ˼�«������������� �������˴�Ť�����ͳ��Ҥ٤������ʤ�����

����   ��«���ʤ���

(����) ����ˡ�ǡ�$\{a_n \}$ ������� $c$ �˼�«�����Ȥ��롣 ��«������� $\epsilon$ �Ȥ��� $\frac{1}{2}$ ����Ѥ��褦�� ���� $N_0$ ��¸�ߤ��ơ�

$$n>N_0 \vert a_n-c\vert <\frac{1}{2}$$ (��)

������Ω�ĤϤ��Ǥ��롣������

(Small sample i).

��� $n$ �Ȥ��� $N_0$ �����ʤ� $10$ ���ܿ������Ȥ��С�$n=10 N_0$ ��Ȥ�ȡ�

$$\vert 1-c\vert<\frac{1}{2}$$

���狼�ꡢ

(Small sample ii).

��� $n$ �Ȥ��� $N_0$ �����ʤ���ǡ� $10$ ���ܿ��Ǥʤ���Ρ����Ȥ��С� $n=10 N_0+1$ ��Ȥ�ȡ�

$$\vert-c\vert<\frac{1}{2}$$

���狼�롣

��� (sample i,ii)�򤢤碌��ȡ�

$$1=\vert 1-0\vert \leq \vert 1-c\vert+\vert c-0\vert<\frac{1}{2}+\frac{1}{2} =1$$

�Ȥʤä�̷��Ǥ��롣

��äơ�$\{a_n \}$ �Ϥ����ʤ��ͤˤ��«���ʤ���

���� 2.6   ���� $\{a_n \}$ ��

$$a_n= \begin{cases} 1/n & \text{$n$ ¤¬ $10$ ¤ÎÇÜ¿ô¤Î¤È¤­}\\ 0 & \text{¤½¤Î¾¤Î¤È¤­}\\ \end{cases}$$

���������Ȥ��� $a_n$ �ϲ��������ͤ˼�«������������� �������˴�Ť�����ͳ��Ҥ٤������ʤ�����

����   $\{a_n \}$ �� 0 �˼�«����

(����) Ϳ����줿 $\epsilon\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{>0}$ �ˤ������ơ� $N_0$ �Ȥ��ơ� $1/\epsilon$ ����礭���������ĤȤäƤ����� (���Τ褦�ʤ��(���ʤ��Ϳ����줿�¿������礭������) ��¸�ߤ��뤳�Ȥϡ��֥��륭��ǥ��θ����פȤ��� �ݾڤ���Ƥ��뤬���ޥ����������äƤ����������ȻפäƤ��ɤ���)

���� $N_0$ ����«������� $N$ ������̤������Ȥ򼨤����� �ºݡ� $n>N_0$ �ʤ�Ǥ�դ� $n$ �ˤ������ơ�

1. $n$ �� $10$ ���ܿ��ʤ顢
   $$\vert a_n-0\vert =\frac{1}{n}< \frac{1}{N_0}<\epsilon$$

2. $n$ �� $10$ ���ܿ��Ǥʤ��ʤ顢
   $$\vert a_n-0\vert =0<\epsilon$$
   �Ȥʤäơ�������ξ��ˤ��� $\vert a_n-0\vert<\epsilon$ ������Ω�Ĥ���Ǥ��롣

���� 2.1   ���� $\{a_n \}$ ��

$$a_n= \begin{cases} \frac{n-1}{n} & \text{$n$ ¤¬ $10$ ¤ÎÇÜ¿ô¤Î¤È¤­}\\ 0 & \text{¤½¤Î¾¤Î¤È¤­}\\ \end{cases}$$

���������Ȥ��� $\{a_n \}$ �ϲ��������ͤ˼�«������������� �������˴�Ť�����ͳ��Ҥ٤������ʤ�����