���ϳ� IA�齬 No.9

���� 9.1   $A \in M_{m,l}($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ , $B\in M_{k,l}($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ ���Ф��ơ���������� Ʊ�ͤǤ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

1. $\forall v \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^l (B v=0 \implies A v=0)$ .
2. $\exists L\in M_{m,k}($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ �����äơ� $A=LB$ ���ʤꤿ�ġ�

$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^l$ ��ζ��̤����������(�¿��ͤ⤷���ϥ٥��ȥ���) �ؿ� $f,g$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 �饰��󥸥��̤����ˡ�ϡ�$g(x)=0$ ���������褦�� $x$ �Τ����� $f(x)$ ����α�ͤ��������Τ˻Ȥ��롣 $g(a)=0$ �ʤ� $a$ �� $f$ ����α����Ȥ��褦�� $g(x)=0$ �������� $x$ �����Τ�

$$\{a+h ;\quad (D g)_{a} h=0\}$$

�ʤ����(�����ʤ�̡�������¿���Ρ�)�Ƕ������롣���ζ��־� $f$ ����α����Ȥ������Ȥϡ�

$$(D g)_a h=0 \implies (D f)_a h=0$$

�Ȥ������ȤǤ��롣�����ꤳ��� $Dg\vert _a=L Df\vert _a$ ��ߤ������� $L$ ��¸�ߤ��뤳�Ȥ�Ʊ�ͤǤ��롣���� $L$ ���̤�����פȤ��Ƥ��餿�� �ѿ����Ȥ߹���Τ��������������ǥ����Ǥ��롣 ������������μ��Ǥ��롣(���ä���񤯤ʡ�) ̤����ˡ�κ�����ɤ��Ϥ��λȤ�������ɤ��ˤ��롣�ʲ��ο���򻲾ȡ�

���� 9.2 (��1)   $x^2+y^2=1$ �������� $x,y$ �ˤĤ��ơ�$f(x)=xy$ �ζ��硢�˾��� ������������

1. $F(x,y,\lambda)= x y + \lambda (x^2+y^2-1)$ �ˤ������ơ� $F_x(a,b,l)=0, F_y(a,b,l)=0, F_\lambda(a,b,l)=0$ ��Ʊ������­���� $a,b,l$ ����ʤ�����
2. ��Τ褦�� $(a,b,l)$ �ˤĤ��ơ�$f(x)$ ���߼���� ���硢�˾����Ǥ��뤫(���Ѵؿ����Ѥ�����)Ĵ�٤ʤ�����
3. ���Ѵؿ����Ѥ��ơ���η�����Ƴ�ǧ���ʤ�����

���� 9.3 (��)   �󼡶��� $g(x,y)=7 x^2-2 x y + 31 y^2 -1=0$ ����������� ���������äȤ�ᤤ���Ȥ�äȤ�����ò¤½¤ì¤¾ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ (�ҥ��: $g(x,y)=0$ �ʤ��ﲼ�� $x^2+y^2$ ������� ̤����ˡ�ǵ��衣)

���� 9.4   ���󼡶��� $x^4+y^4=1$ �ˤĤ��ơ�����ò·«¤ï¿½ï¿½Ö¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 9.5   ���󼡶��� $x^3+y^3=1$ �ˤĤ��ơ�����ò·«¤ï¿½ï¿½Ö¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ (��Υ�Ǿ�������¸�ߤ��뤬�����������...)

���� 9.6   ��� $xy+yx+zx=3$ , $xyz=1$ �������� $(x,y,z)$ �Τʤ��ǡ� $f(x,y,z)=x+y+z$ ���ͤ� ��α�ͤò¸«¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

$$F(x,y,z,\lambda,\mu)=x+y+z+\lambda(xy+yz+zx-3)+\mu(xyz-1)$$

��ͤ��ơ� $F_x,F_y,F_z,F_\lambda,F_\mu$ �ζ����������Ȥᡢ ³���� $f$ ��Ϳ��ﲼ�Ǥ���α���������α�ͤ��Ȥ�衣

���� 9.7 (��1)   ���μ��Ǥ����ޤ뱢�ؿ� $y=\varphi(x)$ �ˤĤ��ơ�������ʬ $\varphi'(x)$ �� ���衣(�ҥ��:���ƥ���No.09, ���ʽ� p.127�齬����)

1. $x^2+y^2=1$ .
2. $7 x^2- 2 x y + 31 y^2 -1=0$ .
3. $x^4+y^4=1$ .
4. $x^3+y^3=1$ .

���� 9.8 (������1)   $f$ �����ѿ��� $C^2$ ��ؿ��Ȳ��ꤹ�롣���ΤȤ���

1. ����

   $$f(a+h,b+k)-f(a+h,b)-f(a,b+k)+f(a,b)$$

   $$= h k\int_0^1 \left( \int_0^1 (f_y)_x (a+h t, b+ k u ) du \right) dt$$

   
   
   ��������ʬɾ�����Ѥ��ơ�

   $$\lim_{(h,k)\to (0,0)} \frac{1}{hk}\left( f(a+h,b+k)-f(a+h,b)-f(a,b+k)+f(a,b) \right)$$

   $$=(f_y)_x(a,b)$$

   
   
   �򼨤��ʤ�����
2. $(f_y)_x(a,b)=(f_x)_y(a,b)$ �򼨤��ʤ�����

���� 9.9   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ ����� $U$ ��������줿 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ -�� $C^1$ �ؿ� $f$ �� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ ����� $V$ ��������줿 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ -��Ϣ³�ؿ� $g$ ��Ϳ�����Ƥ��ơ� $g(V)\subset V$ ���� $f\circ g={\operatorname{id}}_V$ ���ʤꤿ�äƤ����Ȥ��롣 ���ΤȤ����⤷���� $a\in U$ �� $L=(Df)\vert _a$ ������Ȥ��Ʋĵ�(�Ĥޤꡢ �չ������ġ�����������ȡ� $\operatorname{det}(D L)\neq 0$ )���ä��Ȥ���ȡ� $g$ �� $b=f(a)$ �ˤ�������ʬ��ǽ�Ǥ��äơ�

$$D g\vert _b= L^{-1}$$

���ʤꤿ�Ĥ��Ȥ򼨤��ʤ�����

(�ҥ��:

$$g(b+k)=g(b)+L^{-1} \cdot k + o(\vert\vert k\vert\vert)$$

���ʤꤿ�Ĥ��Ȥ򼨤����ɤ��� $x=g(b+k)$ �Ȥ����С�

$$k=(b+k)-b=f(x)-f(a)=L\cdot (x-a)+o (\vert\vert x-a\vert\vert) =L\cdot (x-a)+o (\vert\vert g(b+k)-g(b)\vert\vert).$$

���Ȥ� $g$ ��Ϣ³�������ܤ�����ɤ���)

���� 9.10   ����Ǥϡ� $M_n($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ ������Υ��˴ؤ��ƴ����Ǥ��뤳�Ȥȡ�����Υ��� (����Υ��˴ؤ���)Ϣ³����ͳ���Ѥ����ɤ���

1. $H\in M_n($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ ���� $\vert\vert H\vert\vert<1$ (����Υ��)���������С�
   $$S_k=1_n+ H +H^2+ H^3+\dots H^k$$
   �Ȥ����ȡ�$\{S_k\}$ �Ϲ���Υ��˴ؤ��ƥ���������Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. ��β���β��ǡ�$1_n-H$ ���ո�����Ĥ��Ȥ򼨤��ʤ�����
3. ${\operatorname{GL}}_n($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)\ni X \mapsto X^{-1} \in M_n($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ �� $1_n$ �ˤ�����켡�����
   $$(1_n+H)^{-1}=1_n^{-1} + (-H) + o(\vert\vert H\vert\vert).$$
   ��Ϳ�����뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����

4. ${\operatorname{GL}}_n($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)\ni X \mapsto X^{-1} \in M_n($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ �� $A$ �ˤ�����켡�����
   $$(A+H)^{-1}=A^{-1} + (-A^{-1} H A^{-1}) + o(\vert\vert H\vert\vert).$$
   ��Ϳ�����뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����

����� $X\mapsto X^{-1}$ �� $A$ �Ǥ���ʬ������ $-A^{-1} \bullet A^{-1}$ (�Ĥޤ� $H\mapsto -A^{-1} H A^{-1}$ �ʤ� ��������)��Ϳ�����뤳�Ȥ��̣���Ƥ��롣