���ϳ� IA�齬 No.8

���� 8.1 (��1)   ���ѿ��ؿ� $f(x)=x^2-2$ �ˤ������ơ�Newtonˡ���Ѥ��뤳�Ȥˤ�ꡢ $\sqrt{2}$ �ζ���ͤ�ʲ��Τ褦�ˤ��Ƶ��衣

1. $\sqrt{2}$ �ζ���� $a(\neq 0)$ �ˤ������� $f$ �� $a$ �Ǥ����� $\ell$ �����������ᡢ $\ell$ �� $x$ ���Ȥ� ������ $x$ ��ɸ�� $g(a)$ ���֤�����$g(a)$ �����Ū�� $a$ �μ��ǽ񤭤ʤ�����
2. $a>1$ �ʤ�� $g(a)>1$ ����
   $$\vert g(a)^2-2\vert <\frac{1}{4} \vert a^2-2\vert^2$$
   �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
3. $a\in [1,4]$ �ʤ�� $g(a) \in [1,4]$ ����
   $$\vert g(a)-\sqrt{2}\vert <\frac{1}{2} \vert a-\sqrt{2}\vert^2$$
   �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
4. $a_1=1, a_{n+1}=g(a_n)$ �κǽ�ο���ȡ� ���ξ���Ÿ��(��̣�Τ����ޤǤ��ɤ���)����ʤ����� ((1)-(3) ���򤱤����ȤˤȤ����ȡ�)

���� 8.2 (��1)   ���ѿ��ؿ� $f(x)=x^3-5$ �ˤĤ��ơ������Ʊ�ͤΤ��Ȥ�ͤ��褦��

1. $\sqrt[3]{5}$ �ζ���� $a$ ���Ф��ơ�$f$ �� $a$ �Ǥ������� $x$ ���Ȥ� ������ $x$ ��ɸ $g(a)$ ��׻����ʤ�����
2. $a$ ��Ŭ�����ϰ���ʤ�С� $a$ ��� $g(a)$ �Τۤ��� $\sqrt[3]{5}$ �� ����ɤ�����Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 8.3   ���ѿ��ؿ� $f(x,y)=e^x \sin(y)$ ����� $\Gamma_f$ �ˤĤ��ơ� �� $(a,b,f(a,b))$ �ˤ����� $\Gamma_f$ ����ʿ�̤���������ñ¤­¤Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 8.4   ���ѿ��ؿ� $f(t)=(\cos(t),\sin(t))$ ����� $\Gamma_f$ �ˤĤ��ơ� �� $(t_0,\cos(t_0),\sin(t_0))$ �ˤ����� $\Gamma_f$ ����������������ñ¤­¤Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 8.5 (��1)   ���ѿ��ؿ��٥��ȥ��ʹؿ�

$$f( \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix})= \begin{pmatrix} x+y-4\\ xy-1 \end{pmatrix}$$

�ˤĤ��ơ�

1. $f$ �Υ���դ� $(a,f(a))$ �ˤ�������ʿ�� $\alpha$ �������� ����衣 $v,w$ ���ѿ��Ȥ���С� �ҥ��: $w- f(a)= (Df\vert _{a}) \cdot (v-a)$ �η��Ǥ��롣 �����ؤ���ȡ�$a$ ����ʬ�� $(a_1,a_2)$ , $v$ ����ʬ�� $(x,y)$ �Ȥ����Ȥ��� $w- f(a)= f_x(a) (x-a_1) + f_y(a) (y-a_2)$ �η��Ǥ��롣 $v$ , $w$ , $f$ �Ϥ��줾��٥��ȥ�Ǥ��뤳�Ȥ����դ��뤳�ȡ�
2. $\alpha$ �� ʿ�� $\{v=0\}$ �Ȥθ����κ�ɸ����衣����� $g(a)$ �Ƚ񤳤���
3. �٥��ȥ���� $\{v_j\}_{j=1}^\infty$ �� $v_1=e_1$ (���ܥ٥��ȥ�)�� $v_{j+1}=g(v_j)$ ��������롣 ���ΤȤ������Υ٥��ȥ���κǽ�ο����(��ʬ�򾮿����Ѥ���)�񤭤ʤ�����
4. ��Υ٥��ȥ��� $\{v_j\}$ �μ�«�����ʤ����� (��̩�ʵ��������ʤ����Ȥˤ��롣)

���� 8.6   �гѹ��� $A=$diag$(a_1,a_2,\dots,a_n)$ �ˤĤ��ơ� �������

$$\sup_{x\in \mbox{${\mathbb{R}}$}^n\setminus \{0\}} \frac{\vert\vert A x\vert\vert}{\vert\vert x\vert\vert}$$

����ʤ�����