next up previous
Next: About this document ...

    

���ϳ� IA�齬 No.7

���� 7.1 (������1��)   $ f:$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^2\to$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ �� $ (u,v):$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^2\to$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^2$ �ι����ؿ��˴ؤ��� ����ʬ��Ϣ��Χ��

\begin{displaymath}\begin{cases}&f_x= f_u\cdot u_x + f_v \cdot v_x &f_y= f_u\cdot u_y + f_v \cdot v_y \end{cases}\end{displaymath} (��)

��ä����Τ˽񤯤ȡ���μ���

  $\displaystyle (f(u(x,y),v(x,y)))_x= f_u(u(x,y),v(x,y))\cdot u_x (x,y) + f_v(u(x,y),v(x,y)) \cdot v_x(x,y)$    
  $\displaystyle (f(u(x,y),v(x,y)))_y= f_u(u(x,y),v(x,y))\cdot u_y (x,y) + f_v(u(x,y),v(x,y)) \cdot v_y(x,y)$    

�ΰ�̣�Ǥ��롣 Ʊ�ͤˤ��ơ�
  1. $ f(u,v,w)$ ($ u,v,w$ ��2�ѿ� $ (x,y)$ �δؿ�)
  2. $ f(u,v,w)$ ($ u,v,w$ ��3�ѿ� $ (x,y,z)$ �δؿ�)
  3. $ f(u,v)$ ($ u,v$ ��3�ѿ� $ (x,y,z)$ �δؿ�)
������ʬ��Ϣ��Χ�򤽤줾��(��)�η��ǽ񤭽Ф��ʤ����� �ܤ����׻��䡢���������ʤ���

���� 7.2 (������1��)   �������ò¼¡¤Î¾ï¿½ï¿½Ë¤Ä¤ï¿½ï¿½Æ·ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ö¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ ���������� $ t$ �˴ؤ�������ʬ�פ�Ŭ����$ t$ �˴ؤ�����ʬ�פ� �ɤ��ؤ��뤳�ȡ�
  1. $ f(u)$ ($ u$ ��1�ѿ� $ t$ �δؿ�)
  2. $ f(u,v)$ ($ u,v$ ��1�ѿ� $ t$ �δؿ�)
  3. $ f(u,v,w)$ ($ u,v,w$ ��1�ѿ� $ t$ �δؿ�)
  4. $ f(u,v,w,z)$ ($ u,v,w,z$ ��1�ѿ� $ t$ �δؿ�)

���� 7.3   $ a(f,g):$$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^2\to$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ , $ (f(u,v),g(u,v)):$$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^2\to$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^2$ �� $ (u(x,y),v(x,y)):$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^2\to$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^2$ �ι����ؿ�

$\displaystyle a(f(u(x,y),v(x,y)),g(u(x,y),v(x,y)))
$

�� $ x,y$ ���줾��˴ؤ�������ʬ��������Τ褦�˽񤭲����ʤ�����

���� 7.4 (���줾��1)   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^n$ ����Ĥ���(�ĥ٥��ȥ�) $ x={}^t (x_1,x_2,\dots,x_n), a={}^t (a_1,a_2,\dots,a_n)$ ���Ф��ơ�
  1. $ f(0)=a$ ���� $ f(1)=x$ �Ȥʤ�褦�ʡ�(��������)�켡������ޤ����

    $\displaystyle g(t):$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$$\displaystyle \to$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$$\displaystyle ^n
$

    �� $ x,a$ ���Ѥ���ɽ���ʤ�����
  2. $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^n$ ����� $ U$ �ǡ�$ x,a$ ��ޤ���ʬ ��ޤ�褦�ʤ�Τ� Ϳ�����Ƥ��ơ� $ f:U\to$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ �� $ C^1$ ��Ǥ���Ȥ��롣 ���ΤȤ�

    $\displaystyle f(g(t))
$

    �� $ t$ �˴ؤ�����ʬ��Ϣ��Χ���Ѥ��Ƶ��ʤ�����
  3. ��ʬ��ʬ�ؤδ�������

    $\displaystyle a(1)-a(0)=\int_0^1 a'(t) dt
$

    �� $ a$ �Ȥ��ơ�$ f\circ g$ ����Ѥ��ơ��ǤƤ�����̤�񤭤ʤ�����

���� 7.5  
  1. ����ʬ�ؤδ����������Ѥ���

    $\displaystyle e^x=1+x \int_0^1 e^{x t} dt
$

    �򼨤��ʤ�����
  2. $\displaystyle e^x= 1+ x\int_0^1
\left(
1+x t \int_0^1 e^{x t u} du
\right)dt
$

    �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤����Ĥ���

    $\displaystyle e^x= 1+x+ x^2\int_0^1
\left(
t \int_0^1 e^{x t u} du
\right)dt
$

    �򼨤��ʤ�����
  3. ������򷫤��֤����Ȥˤ�ꡢ

    $\displaystyle e^ x= 1+x + \frac{1}{2}x^2 + x^3 \cdot$   (������ʬ��Ԥä���)

    �η��μ������ʤ�����
  4. $\displaystyle e^ x= 1+x + \frac{1}{2} + O(\vert x\vert^3)
$

    �򼨤��ʤ�����

���� 7.6 (��1)   �������ò¤·¤Æ¡ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Î³ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½
  1. $ \sin(x)= x \int_0^1 \cos(x t) d t $ �򼨤��ʤ�����
  2. $ \cos(x)= 1 - x \int_0^1 \sin(x t) d t $ �򼨤��ʤ�����
  3. �����(2)��ޥͤơ�$ \sin(x)$ �����٤���ʬ���Ѥ��ƽ񤭤ʤ�����
  4. �����(3)��ޥͤơ�$ \sin(x)$ ���٤���ʬ���Ѥ��ƽ񤭤ʤ�����
  5. �����(4)��ޥͤʤ�����

���� 7.7 (��1)   ����2�����ʬ���٤�Ԥ�ɬ�פ����äơ��Ѥ路���� ��ʬ��ʬ�ò¤¦¤Þ¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ñ¤ï¿½ï¿½ë¤³ï¿½È¤Ë¤ï¿½ê¡¢ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ê¬ï¿½Ç¤ï¿½ï¿½Þ¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½È¤ï¿½ï¿½Ç¤ï¿½ï¿½ë¡£ �����˻������ò¤±¤ë¤¿ï¿½á¡¢ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ç¤ï¿½ $ f$ �� $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ ���� ������줿���ѿ��¿��ͤ� $ C^\infty$ ��ؿ��Ǥ���Ȳ��ꤹ�롣 (â���٥��ȥ��ͤǤ��äƤ⡢ �����ϰ�������ʤ���)
  1. ��ʬ��ʬ�ؤδ�������

    $\displaystyle f(x)=f(0)+ \int_0^x f'(t) dt
$

    �� $ f'$ �ˤ�Ŭ�Ѥ���( $ f'(t)=f'(0)+ \int_0^t \dots ds$ �η��μ��������塢) ������Ѥ��ơ�

    $\displaystyle f(x)=f(0)+x f'(0)+\int_0^x\int_0^t f''(s) d s dt
$

    �򼨤��ʤ�����
  2. ��ʬ��ʬ�򤦤ޤ����Ѥ��뤳�Ȥˤ�ꡢ

    $\displaystyle f(x)=f(0)+x f'(0)+ \int_0^x (x-t) f''(s) dt
$

    �򼨤��ʤ�����
  3. �⤦����Ʊ�ͤΤ��Ȥ򷫤��֤����Ȥˤ�ꡢ

    $\displaystyle f(x)=f(0)+ xf'(0)+ \frac{1}{2}f''(0)+ \frac{1}{2} \int_0^x (x-t)^2 f'''(t) d t$ (T2)

    �򼨤��ʤ�����

���̤� $ n$ ���Ф��Ƥ�

$\displaystyle f(x)= \sum_{j=0}^{n} \frac{f^{(j)}(0)}{j!} \cdot x^j + \frac{1}{n!} \int_0^x (x-t)^n f^{(n+1)}(t) d t$ (Tn)

������Ω�ġ�

���� 7.8 (��1)   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^2$ ��������줿 $ C^\infty$ �����ѿ��ؿ� $ g(x,y)$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��ơ�

$\displaystyle f(t)=g(x+ t h , y+t k)
$

���Ф��ơ�
  1. (T2)��Ŭ�Ѥ�������(����ʬ���Ѥ���)�񤭲����ʤ�����
  2. ���̤� $ n$ �ˤ������ơ�(Tn)��Ŭ�Ѥ�������(����ʬ���Ѥ���)�񤭲����ʤ����� (�����Ϥ��ʤ����ɤ���)

���� 7.9   �٥��ȥ��ʹؿ�

$\displaystyle f(x)=
\begin{pmatrix}
\cos(x)\\
\sin(x)
\end{pmatrix}$

��
  1. (T2)(�Υ٥��ȥ�����)��Ŭ�Ѥ�������񤭲����ʤ�����
  2. (Tn)(�Υ٥��ȥ�����)��Ŭ�Ѥ�������񤭲����ʤ�����
�����������Ϥ��ʤ��Ƥ��ɤ���

���� 7.10 (��1)   ���ѿ��٥��ȥ��ʹؿ�

$\displaystyle f(
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix})=
\begin{pmatrix}
y\cos(x)\\
y\sin(x)
\end{pmatrix}$

�ˤ������ơ� $ (a,b)$ ����ꤷ���Ȥ���
  1. $ f(a+h,b+k)$ �� $ h,k$ �ˤĤ���1���ι�ޤǶ���������� �񤭤ʤ��������ʤ����

    $\displaystyle f(a+h,b+k)=c_{00} +c_{10} h + c_{01} k +o (\vert\vert(h,k)\vert\vert)
$

    ��ߤ����٥��ȥ� $ c_{00},c_{10},c_{01}\in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^2$ ����ʤ�����
  2. $ f(a+h,b+k)$ �� $ h,k$ �ˤĤ���2���ι�ޤǶ���������� �񤭤ʤ��������ʤ����

    $\displaystyle f(a+h,b+k)=c_{00} +c_{10} h + c_{01} k + c_{20} h^2 +c_{11} hk + c_{02 } k^2+
o (\vert\vert(h,k)\vert\vert^2)
$

    ��ߤ����٥��ȥ� $ c_{00},c_{10},\dots, c_{02}\in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^2$ ����ʤ�����

��������;���(�Ǥ����)��ʬ�η��ǽФ����ȡ�

���� 7.11 (��1)   �����(1),(2)��

$\displaystyle f(
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix})=
\begin{pmatrix}
x+y\\
x y
\end{pmatrix}$

���Ф��Ʒ����֤��ʤ����� (������䤵������������椨�����äƸ��Ǥ������Τ�ʤ���) �ʤ����־�;��פ���ʬ�ǽФ��ʤ��Ƥ��ɤ���

���� 7.12 (��1)   �����(1),(2)�����ѿ��ؿ�

$\displaystyle f(
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix})=
x^3+ y^3
$

���Ф��Ʒ����֤��ʤ�����

���� 7.13   $ F=\{(x,y)\in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$% latex2html id marker 1359
$ ^2\vert x,y \leq 0, x+y\leq 2\}$ �ʤ��Ľ��� ��������줿�ؿ�

$\displaystyle f(x,y)= (1-x)(1- y) (x+y-1)
$

���Ф��ơ�
  1. $ f_x$ ,$ f_y$ ��׻���������餬�Ȥ�� 0 �ˤʤ��� $ (a,b)$ �ǡ� % latex2html id marker 1370
$ f(a,b)\neq 0$ �ˤʤ��Τ���ʤ�����
  2. ��� $ a,b$ �ǡ�$ f$ ���󼡶�����ʤ�����
  3. ����Ĺ���� $ 2$ �λ��ѷ��Τ��������Ѥ�����Τ�ΤϤʤˤ��� (�ҥ��:�إ���θ���)


next up previous
Next: About this document ...
2009-06-30