���ϳ� IA�齬 No.6

���� 6.1   $n,m$ �� 0 �ʾ�������Ȥ��롣 ���ѿ��ؿ� $f(x,y)=x^n y^m$ �ˤ������ơ� ����Ƴ�ؿ� $f_{xy}(=(f_x)_y)$ , $f_{y x}(=(f_y)_x)$ �ò¤½¤ì¤¾ï¿½ï¿½ï¿½È¤ï¿½è¡£ (� $x^0$ �� ($x$ �� 0 �Ǥ��뤫�ɤ����˴ط��ʤ�) $1$ �Ǥ���� ����Ǥ���«���Ƥ�����)

���� 6.2   ���ѿ��ؿ� $f(x,y)=\sin(xy^2)$ �ˤ������ơ� ����Ƴ�ؿ� $f_{xy}(=(f_x)_y)$ , $f_{y x}(=(f_y)_x)$ �ò¤½¤ì¤¾ï¿½ï¿½ï¿½È¤ï¿½è¡£

���� 6.3 (��1)   $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ��

$$% latex2html id marker 988f(x,y)= \begin{cases} \frac{xy (... ...q (0,0)$ ¤Î¤È¤­}\\ 0 & \text{$(x,y)=(0,0)$ ¤Î¤È¤­} \end{cases}$$

��������롣���ΤȤ�,

1. $f$ �� $(0,0)$ ��Ϣ³�Ǥ��뤳�Ȥ�������ʤ�����
2. $(a,b)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ ���� $b\neq 0$ ��ߤ����Ȥ���$f_x(a,b)$ ����ʤ�����
3. $a\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �ˤĤ��ơ� $f_x(a,0)$ ���ᡢ�ĤŤ���(�����ʻ����) $f_x(0,b)$ �����Ƥ� $b\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �ˤĤ��Ƶ��ʤ�����
4. $a\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �ˤĤ��ơ� $f_y(a,0)$ ����ʤ�����
5. $f_{x y}(0,0)(=(f_x)_y(0,0))$ �� $(f_y)_x(0,0)$ �Ȥ򤽤줾���ᡢ ξ�Ԥ�����������ǧ���ʤ�����

���� 6.1 (������ʬɾ��)   �Ķ�־��(�٥��ȥ���)�ؿ�

$$g:[a,b] \to$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^m$$

����ʬŪ��Ϣ³(���ʤ����$[a,b]$ ��ͭ��ʬ�䤬¸�ߤ��Ƥ��Τ��줾��ζ�֤�Ϣ³) �Ǥ���Ȥ���

$$\vert\vert\int_a^b g(x) d x\vert\vert \leq \int_a^b \vert\vert g(x)\vert\vert d x$$

���� 6.4 (��1)  

1. ����ؿ� $g(x)=v$ ���Ф��ƾ�������������ʤ�����
2. $v_1,v_2 \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ �� $a_1\in [a,b]$ ��Ϳ�����Ƥ��ơ�
   $$g(x)= \begin{cases} v_1 &\text{ if }x \in [a,a_1] \\ v_2 &\text{ if }x \in (a_1,b] \end{cases}$$
   ����ޤ�褦�ʴؿ� $g$ ���Ф��ơ���������������ʤ�����
3. ���̤� ��ʬŪ������Ǥ���褦�ʴؿ����Ф��ơ���������������ʤ�����

���̤ζ�ʬŪ��Ϣ³�ʴؿ��ˤĤ��Ƥϡ� �������ζ˸¤Ȥ������꤬��������롣 �ʲ�������Ǥϡ��Ȥ����Ǥ�ʤ��¤ꡢ������ʬɾ�����Ѥ����ɤ���

���� 6.5 (��1)   $f:$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ ��

$$f(x)= \begin{pmatrix} \cos(x)\\ \sin(x) \end{pmatrix}$$

��������롣���ΤȤ���

1. $f(x)= f(0)+ x\int_0^1 g(t x) d t$ ���������褦�� $g$ ���ĵ��ʤ����� (�ʲ�����Ǥ� $g$ �Ȥ����Ф��δؿ��򤵤���)
2. $\vert\vert f(x)-f(0)\vert\vert \leq \vert x\vert$ ��Ǥ�դ� $x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �ˤĤ�������Ω�Ĥ��Ȥ�������ʤ�����
3. $\vert\vert g(x)-g(0)\vert\vert \leq \vert x\vert$ ��Ǥ�դ� $x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �ˤĤ�������Ω�Ĥ��Ȥ�������ʤ�����
4. $g(x)-g(0)=\int_0^1 h(s x) d s$ ���������褦�� $h$ ���ĵ��ʤ�����
5. $f$ �� 0 �Ǥ��󼡶������ʤ��������ʤ����
   $$f(x)=v_0+ x v_1 + x^2 v_2 + o(\vert x^2\vert)$$
   �ʤ� $v_0,v_1,v_2\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ ����ʤ�����

���� 6.6 (��1)   $f:$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ ��

$$f( \begin{pmatrix} r\\ \theta \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} e^r\cos(\theta)\\ e^r \sin(\theta) \end{pmatrix}$$

��������롣���ΤȤ���

1. $$f( \begin{pmatrix} r \\ \theta \end{pmatrix}) = f( \begin{pmatri... ...\\ \theta \end{pmatrix} ) d t \cdot \begin{pmatrix} r \\ \theta \end{pmatrix}$$
   ���������褦�� ���ѿ� $M_2($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ �ʹؿ� $g$ ���ĵ��ʤ�����

2. $$\vert\vert f( \begin{pmatrix} r \\ ... ...egin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix})\vert\vert \leq \vert\frac{e^r-1}{r} \vert$$
   ��Ǥ�դ� $(r,\theta)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ �ˤĤ�������Ω�Ĥ��Ȥ�������ʤ����� ��������$r=0$ �ΤȤ��ˤ� ���դ��ͤ� 0 ����«���롣
3. �쳬��Ƴ�ؿ� $f_r, f_\theta$ �򤽤줾����衣
4. ����Ƴ�ؿ� $f_{r r}, f_{r \theta}, f_{\theta \theta}$ �� ���줾����衣
5. $f$ �� 0 �Ǥΰ켡�������ʤ����� ���ʤ����
   $$f( \begin{pmatrix} r \\ \theta \end{pmatrix}) = v_0 + v_{10} r +... ...1} \theta + o(\vert\vert \begin{pmatrix} r \\ \theta \end{pmatrix}\vert\vert)$$
   ��ߤ��� $v_0,v_{10},v_{01}$ ����ʤ�����
6. $f$ �� 0 �Ǥ��󼡶������ʤ����� (�����������䤹�뤫���ֵ��򻲾�)