���ϳ� IA�齬 No.5

���� 5.1  

$$f:$$$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^2 \ni (r,\theta) \mapsto (r\cos(\theta),r\sin(\theta))\in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^2$$

�ˤĤ��ơ� $f$ �� $(r_0,\theta_0)$ �ˤ�������ʬ $Df_{(r_0,\theta_0)}$ �� ���ι��� $\operatorname{det}(Df_{(r_0,\theta_0)})$ ����衣

���� 5.2  

$$f:$$$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^3 \ni (r,\theta,\phi) \mapsto (r\cos(\theta)\cos(\phi),r\sin(\theta)\cos(\phi),r\sin(\phi))\in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^3$$

�ˤĤ��ơ� $f$ �� $(r_0,\theta_0,\phi_0)$ �� ��������ʬ $Df_{(r_0,\theta_0,\phi_0)}$ �� ���ι��� $\operatorname{det}(Df_{(r_0,\theta_0,\phi_0)})$ ����衣

���� 5.3 (��1)   $f(x,y)=x^2 y$ �ˤ������ơ�

1. $x=u,y=u+v^3$ �Ȥ����ơ�$f(x,y)$ �� $u,v$ �ǽ�ɽ���ʤ����� ����� $g(u,v)$ �Ȥ��������ʤ����
   $$g(u,v)=f(u,u+v^3).$$

2. ��Ƴ�ؿ� $g_u, g_v$ �򤽤줾����衣
3. ��ʬ��Ϣ��Χ
   $$g_u = f_x x_u + f_y y_u ,\quad g_v = f_x x_v + f_y y_v.$$
   �򤳤ξ��˳Τ���ʤ�����

���� 5.4 (��1)   $f(x,y)=\sin(x)y$ �ˤ������ơ����� 5.3 ��(2) �� (3) �ò·«¤ï¿½ï¿½Ö¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���ѿ� $(x,y)$ �δؿ� $f(x,y)$ �˴ؤ�������ʬ������

$$f_x=0$$

�ϡ���$f$ �� $y$ ��ߤ�� $x$ ��ư�������Ȥ�������Ǥ���� �Ȥ������Ȥ��̣���Ƥ��뤫�顢���ΰ��̲�ϡ�

$$f(x,y)=g(y)$$

($g(y)$ �ϡ�Ǥ�դΡװ��ѿ��ؿ�) �Ȥ�����������Ϳ�����롣�ʲ�������Ϥ����Ƨ�ޤ��������뤳�ȡ�

���� 5.5 (��1)   ���ѿ� $(x,y)$ �δؿ� $f$ �˴ؤ�������ʬ������

$$f_x-f_y=0$$

��򤭤�����

1. $x=-u+v, y=u$ ���ѿ��Ѵ����ơ��嵭�������� $g(u,v)=f(-u+v,u)$ �� �ؤ����������˽�ľ���ʤ�����
2. ��������ʬ�������ΰ��̲����ʤ�����

���� 5.6   ���ѿ� $(x,y)$ �δؿ� $f$ �˴ؤ�������ʬ������

$$f_x-2 f_y=0$$

��򤭤ʤ�����(�ҥ��:$x,y$ ��Ŭ���˰켡�Ѵ����Ƥߤ衣)

���� 5.7   ���ѿ� $(x,y,z)$ �δؿ� $f$ �˴ؤ�������ʬ������

$$f_x-2 f_y+3 f_z=0$$

��򤭤ʤ�����

���� 5.8 (�ۤä�����ϴְ�äƤ����Τǡ�����)  

���� 5.9 (��1)   ��ʬ��ǽ�ʰ��ѿ��ؿ� $g(t)$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣���ΤȤ���

1. $f(x,y)=g(x+y^2)$ �ʤ����ѿ��ؿ����Ф��ơ� ��Ƴ�ؿ� $f_x,f_y$ �� $g$ (�Ȥ�����ʬ)���Ѥ��ƽ񤭡� $2 y f_x -f_y=0$ �򤷤ᤷ�ʤ�����
2. (������Ȥ�̵�ط��˰��̤����ѿ��ؿ� $f$ �˴ؤ��ơ�) ����ʬ������ $2 y f_x -f_y=0$ ��(Ŭ�����ѿ��Ѵ����Ѥ���)�򤭤ʤ����� (�ҥ��:�������ѿ��ˤ� $u=x+y^2$ �����٤��ɤ����⤦�������ѿ� $v$ �Ȥ��Ƥ� $x$ �� $y$ �Τ����줫��Ȥ���ɤ��櫓������$x,y$ �� $u,v$ ���� �դ˲򤱤�ۤ����������ɤ�.)

���� 5.10 (��1)   ��ʬ��ǽ�ʰ��ѿ��ؿ� $g(t)$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣���ΤȤ���

1. $f(x,y,z)=g(x+y^2+z^3)$ �ʤ뻰�ѿ��ؿ����Ф��ơ� ��Ƴ�ؿ� $f_x,f_y,f_z$ �� $g$ (�Ȥ�����ʬ)���Ѥ��ƽ񤭡�

   $$f_y=2 y f_x$$

   $$f_z= 3 z^2 f_x$$

   
   
   �򤷤ᤷ�ʤ�����
2. (������Ȥ�̵�ط��˰��̤λ��ѿ��ؿ� $f$ �˴ؤ��ơ�) ϢΩ����ʬ������

   $$f_y=2 y f_x$$

   $$f_z= 3 z^2 f_x$$

   
   
   ��(Ŭ�����ѿ��Ѵ����Ѥ���)�򤭤ʤ�����