���ϳ� IA�齬 No.3

���� 3.1 (��1������������˲ò¤¯¤ï¿½ï¿½È¡ï¿½)  

1. $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ �γ����� $U,V$ �ζ�����ʬ $U\cap V$ �ϳ�����Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ �γ����� $U,V$ ���½��� $U\cup V$ �ϳ�����Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
3. $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ ��̵�¸Ĥγ����� $\{U_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$ ���½���
   $$\bigcup_{\lambda \in \Lambda} U_{\lambda}$$
   �ϳ�����Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 3.2   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ �������� $\{U_j\}_{j=1}^\infty$ �ǡ����ζ�����ʬ

$$\bigcap_{j=1}^\infty U_j$$

��������ǤϤʤ����󤲤ʤ�����

���� 3.3 (��1.��˲ò¤¯¤ï¿½ï¿½È¡ï¿½)   $n$ �����Υ٥��ȥ� $v=(v_1,v_2,\dots,v_n)$ �� $w=(w_1,w_2,\dots,w_n)$ �Ȥ� ���������������Ѥ�

$$\langle v,w\rangle=\sum_{j=1}^n v_j w_j$$

��������롣 ���ΤȤ���

1. $f(t)=\langle t v + w , t v + w\rangle$ �� $t$ �� �󼡼��Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����(���η����� $\langle v, v\rangle, \langle v,w \rangle$ �����Ѥ��ƽ񤭤ʤ�����
2. $f(t)$ �κǾ��ͤ� 0 �ʾ�Ǥ��뤳�Ȥȡ��󼡼��κ��硢 �Ǿ����μ����Ѥ��ơ�
   $$\vert\langle v, w \rangle\vert^2 \leq \langle v, v \rangle \langle w, w \rangle$$
   �򼨤��ʤ�����
3. $\sqrt{\langle v,v \rangle}$ �Τ��Ȥ� $\vert\vert v\vert\vert$ �Ƚ񤯤��Ȥˤ���ȡ�
   $$\vert\vert v+w\vert\vert \leq \vert\vert v\vert\vert + \vert\vert w\vert\vert$$
   ������Ω�Ĥ��Ȥ��������ȤäƼ����ʤ�����(����������)

����ΰʲ�������ϡ�Ϣ³��������� $\epsilon$ -$\delta$ ��ˡ���Ѥ��ƹԤ��� ������Ѥ��Ʋ������뤳�ȡ����ʤ����$f$ �� $P$ �� Ϣ³�Ǥ���Ȥϡ�

$$\forall \epsilon>0 \exists \delta>0 \quad ( d(P,Q)<\delta \implies d(f(P),f(Q))<\epsilon)$$

��������뤳�Ȥˤ��롣ñ�ˡ�Ϣ³�פȤ����С��������γ�����Ϣ³�פΰ�̣�Ǥ��롣

���� 3.4   $S$ �� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ ����ʬ���硢$T$ �� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ ����ʬ����� ����Ȥ��롣 $f:S \to T$ ��Ϣ³�ǡ� $S$ ������ ${P_j}_{j=1}^\infty$ �� $S$ ���� $P$ �� ��«����ʤ�С����� $\{f(P_j)\}_{j=1}^\infty$ �� $f(P)$ �˼�«���뤳�Ȥ� �����ʤ�����

���� 3.5   �Υ��ؿ�

   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^n \ni v \mapsto \vert\vert v\vert\vert (=d(v,0)) \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$

��Ϣ³�Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 3.6 (��1.��������˲ò¤¯¤ï¿½ï¿½È¡ï¿½)   ľ�ѽ��� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n \times$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ �� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^{2 n}$ ��Ʊ��뤹�롣���ΤȤ���

1. $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ �ε�Υ�ؿ��� $d$ , $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^{2 n}$ �ε�Υ�ؿ��� $d_1$ �Ƚ񤯤ȡ�
   $$d_1((P_1,P_2),(Q_1,Q_2)) =\sqrt{d(P_1,Q_1)^2 +d(P_2,Q_2)^2}$$
   ������Ω�Ĥ��Ȥ򼨤��ʤ�����
2. ��Υ�ؿ�
      $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^n \times$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^n \ni (P_1,P_2)\mapsto d(P_1,P_2) \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$
   ��Ϣ³�Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 3.7  

   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^2 \ni (x,y) \mapsto \vert x\vert+\vert y\vert$$

��Ϣ³�Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 3.8   $M_2($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)\times$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ ����ʬ�������¤٤� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^6$ �� Ʊ��뤹�롣 ���ΤȤ��� ����ȥ٥��ȥ�Τ���������ޤ����

$$M_4($$$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$)\times$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^2 \ni \left( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \b... ...d{pmatrix}\right) \mapsto \begin{pmatrix} a x + b y \\ c x + d y \end{pmatrix}$$

��Ϣ³�Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 3.9   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ ��δؿ� $f$ ��

$$% latex2html id marker 1173f(x,y)= \begin{cases} x y \log... ...$ ¤Î¤È¤­¡£} \\ 0 & \text { $(x,y)=(0,0)$ ¤Î¤È¤­¡£} \end{cases}$$

��������롣���� $f$ �ϸ��� $(0,0)$ ��Ϣ³����������

���� 3.10   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ ��δؿ� $f$ ��

$$% latex2html id marker 1189f(x,y)= \begin{cases} \frac{x ... ...$ ¤Î¤È¤­¡£} \\ 0 & \text { $(x,y)=(0,0)$ ¤Î¤È¤­¡£} \end{cases}$$

��������롣���� $f$ �ϸ��� $(0,0)$ ��Ϣ³����������