���ϳ� IA�齬 No.2

���� 2.1 (������1��)   �Ĥ��γơ��ξ��ˤĤ��ơ� $P,Q$ �ε�Υ����衣 ��������Υ���̾�� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ �ε�Υ�������뤳�ȤȤ��롣

1. $P=(1,2), Q=(3,4) \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ .
2. $P=(1,2,3), Q=(4,5,6) \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^3$ .
3. $P=(0,0,\dots,0), Q=(1,1,\dots, 1)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ .

���� 2.2   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ ���� $P=(1,2,3,\dots, n)$ �� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ �θ����Ȥ� (�̾�ΰ�̣�Ǥ�)��Υ�Ϥ����餫?

���� 2.3   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ �δ��ܥ٥��ȥ� $e_1,\dots,e_n$ (�� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ �����Ȥߤʤ������) �Τ����ɤ�Ǥ⻰�İۤʤ��� $P,Q,R$ ��Ȥ�С�����������ѷ���ĺ����ʤ����ȡ� �Ĥޤ� $d(P,Q)=d(Q,R)=d(R,P)$ ���ʤꤿ�Ĥ��Ȥ� �����ʤ�����

���� 2.4 (������1. �������ɤ��餫��ò¤­»Ï¤ï¿½Æ¤ï¿½ï¿½É¤ï¿½ï¿½ï¿½)   �¿��� $\{a_n\}$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣���ΤȤ���

1. ����ζ˸�
   $$\lim_{n\to \infty} (n^2 \cos(a_n)e^{-n}, n^2 \sin(a_n)e^{-n})$$
   ����ʤ�����
2. �˸�
   $$\lim_{n\to \infty} n^2 \cos(a_n)e^{-n}$$
   ����ʤ�����

���� 2.5 (��1)   ���� $\{(a_n,b_n)\}$ ����«����Ȥ���

1. ���� $\{(a_n +b_n)\}$
2. ���� $\{(a_n- b_n)\}$
3. ���� $\{(a_n b_n)\}$
4. ���� $\{(a_n / b_n)\}$

�Ϥ��줾��ɬ����«���������������«������ˤϾ����� ���ʤ����ˤ�ȿ��Ȥ���ȿ�㤬��«���ʤ����Ȥξ�����Ҥ٤ʤ�����

���� 2.6   ���� $\{(a_n,b_n,c_n)\}$ ����«����Ȥ��� ���� $\{a_n+b_n+c_n,a_n b_n +b_n c_n +c_n a_n, a_n b_n c_n)\}$ �� ɬ����«�������������

���� 2.7   ����εդ��䤦�����ʤ���� ���� $\{(a_n,b_n,c_n)\}$ ��Ϳ�����Ƥ��ơ� ���� $\{a_n+b_n+c_n,a_n b_n +b_n c_n +c_n a_n, a_n b_n c_n)\}$ ����«����Ȥ��� ��Ȥ����� $\{(a_n,b_n,c_n)\}$ ��ɬ����«����ȸ��������������

���� 2.8   ���� $\{(a_n,b_n)\}$ ��Ϳ�����Ƥ��ơ� ���� $\{(a_n+b_n, a_n b_n)\}$ ���� $(6,9)$ �˼�«����Ȥ��� ��Ȥ����� $\{(a_n,b_n)\}$ ��ɬ����«����ȸ��������������

���� 2.9 (��1)   ���ζ˸¤�¸�ߤ����������������Ȥ����餽�ζ˸¤���ʤ����� (���������ͳ��Ҥ٤뤳�ȡ�)

1. $$\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^2y^4}{x^4+y^4}$$

2. $$\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^2y^4}{x^4+y^2+y^4}$$

3. $$\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^2y^4+xy }{x^4+y^4}$$

���� 2.10 (��1)   ��������Ǥϡ�$D$ �Ϥ��Τ��Τδؿ���ʬ�줬 0 �Ǥʤ�����ò¤µ¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½È¤Ë¤ï¿½ï¿½ë¡£ (�������äơ����䤴�Ȥ� $D$ �ϰۤʤ롣)

1. $$\lim_{(x,y)\in D , (x,y)\to 0} \frac{x^2}{y}$$
   ��¸�ߤ������������

2. $$\lim_{(x,y)\in D , (x,y)\to 0} \frac{x^2y^2}{y-x^2}$$
   ��¸�ߤ������������

3. $$\lim_{(x,y)\in D , (x,y)\to 0} \frac{e^{y-x^2}-1}{y-x^2}$$
   ��¸�ߤ������������

���� 2.11   �ؿ� $f(x,y)$ ��

$$% latex2html id marker 998f(x,y)= \begin{cases} e^{-(y-x^2... ...eq x^2 \text{¤Î¤È¤­})\\ 0 & (y< x^2 \text{¤Î¤È¤­}) \end{cases}$$

��������롣���ΤȤ���$f$ �� $(0,0)$ ��Ϣ³����������