���ϳ� IA�齬 No.1

������:

1. �Ȥ����Ǥ�ʤ��¤ꡢ������ˤ���ͳ�򤢤��������뤳�ȡ�
2. ����˿޷����ǤƤ������ˤϡ��Ǥ���¤ꤽ�γ������������ȡ�
3. ���ս񤭤��ʤ���Τϳ���1����3���ǹ�ʡ�

���� 1.1   �������������Ѥ��ơ�Ǥ�դ� $P,Q,R,S\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ �ˤ������ơ�

$$d(P,Q) + d(Q,R) +d (R,S) \geq d(P,S)$$

������Ω�Ĥ��Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 1.2 (��1��)   �Ĥ��� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ ����ʬ����Ϥ��줾�� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ ��������������

1. $\{(x,y)\vert 0< x < 1\}$ .
2. $\{(x,y)\vert 0< x <1$    ���� $0< y < 1\}$ .
3. $\{(x,y)\vert 0\leq x \leq 1$    ���� $0\leq y \leq 1\}$ .
4. $\{(x,y)\vert x^2 <1\}$ .
5. $\{(x,y)\vert 0< x y < 1 \}$ .
6. $\{(x,0)\vert x \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\}$ .
7. $\{(x,y)\vert x y =0\}$ .

��������Ǥϡ��Ľ���ϡ��佸�礬������Ǥ���פ��Ȥ�������뤳�Ȥ� ���롣(����������Ѥ��Ʋ򤯤���)

���� 1.3 (��1��)   �Ĥ��� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ ����ʬ����Ϥ��줾�� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ ���Ľ������������

1. $\{(x,y)\vert 0< x < 1\}$ .
2. $\{(x,y)\vert 0< x <1$    ���� $0< y < 1\}$ .
3. $\{(x,y)\vert 0\leq x \leq 1$    ���� $0\leq y \leq 1\}$ .
4. $\{(x,y)\vert x^2 <1\}$ .
5. $\{(x,y)\vert 0< x y < 1 \}$ .
6. $\{(x,0)\vert x \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\}$ .
7. $\{(x,y)\vert x y =0\}$ .

���� 1.4   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ ��� $B_r(x)$ ��Ǥ�դ������� $B_r(x)$ �����ʬ�Ƿ�٤뤳�Ȥ� �����ʤ������̤θ������ò¤¹¤ï¿½ï¿½: $B_r(x)$ ���Ǥ�դ����� $P,Q$ �ˤ������ơ� $P,Q$ ������ʬ�ξ��Ǥ�դ��� $R$ �� $B_r(x)$ ��°���뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 1.5 (��1)   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ ����ʬ���� $S$ ��

$$S=\{ (x,y)\vert \vert x y\vert<1\}$$

������

1. $S$ �� �������������?
2. $S$ ���Ľ����������?
3. $S$ ��Ǥ�դ������� $S$ �����ʬ�Ƿ�֤��Ȥ��Ǥ������������
4. $S$ ��Ǥ�դ������� $S$ ����ޤ����Ƿ�֤��Ȥ��Ǥ������������

��� 1.1   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ ����� $\{P_j; j=1,2,3,\dots,\}$ �������������Ǥ���Ȥϡ�

$$\forall \epsilon >0 \exists N \in \mathbb{N} (n,m >N \implies d(P_n,P_m)<\epsilon)$$

������Ω�ĤȤ��ˤ�����

���� 1.6 (��1����������˲ò¤¯¤ï¿½ï¿½ï¿½)   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ ����� $\{P_j\}$ ������������Ǥ���Ȥ��롣

$$P_j=( x_j^{(1)}, x_j^{(2)}, x_j^{(3)},\dots, x_j^{(n)})$$

����ʬɽ�������Ȥ���

1. �����ʬ���� $\{x_j^{(1)}; j=1,2,\dots\}$ �ϼ¿��Υ���������� ���뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. ���� $Q\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ �����äơ�$\{P_j\}$ �� $Q$ �˼�«���뤳�Ȥ� ���ᤷ�ʤ�����

���� 1.7 (��1)   �Ĥ��γƽ���� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ ����ʬ����Ȥ��� ͭ���Ǥ���������(����ˤĤ��Ƥϳƽ���γ����������ʤ��Ƥ��ɤ���)

1. $\{ (x,y) ; 1<e^x <100, 1<e^y<500\}$
2. $\{ (x,y) ; (x-1)^4+y^4<1\}$
3. $\{(a+b, a-b); a,b\in [0,5] \}$
4. $\{(\cos(a^5),e^{-a^2}); a\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\}$ .

���� 1.8 (��1��â����˲ò¤¯¤ï¿½ï¿½ï¿½)   $P_n=(\cos(n),\sin(n))$ �Ȥ����Ȥ���

1. $\{P_n; n=1,2,3,\dots \}$ �� $(0,0)$ �˼�«���ʤ����Ȥ򼨤��ʤ�����
2. $\{P_n; n=1,2,3,\dots \}$ �� �ʤˤ��������˼�«�������������
3. $\{P_n; n=1,2,3,\dots \}$ �� ��«������ʬ�����Ĥ���������

���� 1.9   $f:$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ ��

$$f(x)=(\cos(x),\sin(x))$$

����᤿�Ȥ���$f$ �Υ���� $\Gamma_f$ �γ����������ʤ�����

���� 1.10   $f:$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ ��

$$f(x)=(e^x \cos(x),e^x\sin(x))$$

����᤿�Ȥ���$f$ �Υ���� $\Gamma_f$ �γ����������ʤ�����

���� 1.11   ����� $f$ �������Ľ����������?